五．问题一
5.1 统计分析模型
5.1.1 学期独立性评价：
对于所给的612个学生4个学期的期末综合考试成绩，由于每次考试的试卷的没有明确的规定，因此对于不同的试卷，我们不能直接通过所给的分数来判定学生的整体情况，因此我们分别统计了4个学期各个分数段的学生的直方图。
图2：第一学期学生成绩分段统计图
通过计算，第一学期学生的平均分即总体均值是：72.49891， 总体标准差?是：9.492443，
2S样本方差是：9.5002；
及格率为：554/612=90.52%;
第一学期的成绩可以反映出学生的初级学习状况，即学生的基础，从上面的数据以及图表来看，70分以下的学生比较多，明显的反应不少的学生学习的基础不是非常的好。对于70到80分这个分数段的学生占整体学生总数的45%，这个分数段的学生正是反应整体学生水平状况。学生成绩的标准差反映了学生成绩的离散程度，从上面的数据显示，学生的离散程度为：9.492443。
同理我们分别计算了第二、三、四这三个学期的整体情况。
图3：第二学期学生成绩分段统计图
总体平均分： 74.374； 总体标准差：10.5888； 学生的及格率是：91.99%；
第二学期学生的大于80分的人数明显高于第一学期的人数，对于70分以下的学生人数也明显少于第一学期，70到80分的学生人数没有第一学期高，原来
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第一学期在70到80分的那些同学有部分提高了学习成绩。总体而说，学生的整体水平相对于第一学期是有一定的进步的。但是于此同时，学生之间的差距增大了，即他们之间的离散程度增大了。第一学期的离散程度为9.492443，而这个学期的离散度为：10.5888，教育的目的同时是为了减少学生之间的差距，而第二学期的教学效果虽然增加了总体分数，然而，应该更加注意学生之间的差距，避免两极分化的情况。
图4：第三学期学生成绩分段统计图
学生的平均成绩是：73.170 总体标准差：9.0059 学生及格率：94.12% 就第三学期来说，学生的大部分成绩集中在70到80分之间，高分的学生人数减少了，而相对与第二学期来说，70分以下的人数也增多了， 因此，相对与第二学期来说，学生的整体情况下降了。但与第一学期来比较，学生在70到80分之间的人数很明显的大于第一学期，平均分数也高于第一学期。而这个学期的离散度为：9.0059。因此，第三学期虽然有些下降，但是相对与第一学期来说，是有小部分的进步。
图5：第四学期学生成绩分段统计图
学生的平均成绩是：75.063 总体标准差：10.2339； 学生及格率：95.42%
第四学期来看，分数在80分以上的人数明显的上升，在70到80分的人数也整体上升了，70分以下的人数也减少了，所以第四学期相对与第三学期来说，学生的成绩上升。相对与第二学期来说，70分到80分之间的人数明显大于第二学期的人，70分以下的人数数量也小于第二学期的人数，第四学期的平均分也
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略大于第二学期的平均分，因此学生第四学期的成绩是取得了很大的进步的。
5.1.2 学期综合性评价：
0.9610.610.40.9510.20.9474.5107575.5学生的及格率标准差0.939.89.6平均分02学期4740.929.40.919.20.9973.57302学期472.502学期4
图6：四个学期总体比较
从上面的图中可以看出，学生四个学期的及格率是呈直线上升。而学生的标准差即学生之间的离散度在第二和第四学期比较大，而第一学期与第三学期相对的小。学生成绩的总体平均分也是在第二学期和第四学期比较高，而第三学期略比第一学期高。
表4：四个学期之间分数段人数的比较 分数段 90~100 80~89 70~79 60~69 50~59 40~49 30~39 30分以下 第一学期人数 第二学期人数 第三学期人数 第四学期人数 0 0 1 0 138 204 129 194 275 246 303 287 140 110 144 105 42 35 24 13 12 7 4 3 3 3 3 1 2 5 4 9 从上面的数据可知，每个学期学生的平均分均在70分以上，因此我们把学生
的成绩主要区分成三个段，70分以下，70到80分之间，80分以上。从上面的数据来总体分析，这四个学期中，第一和第三这两个学期学生成绩低于70分以下的人数比较多，对于80到90分这个区间，第一学期和第三学期人数却比较少，而在第二、四学期却比较高。明显的反应了第二学期和第四学期学生的学习状态比较好。而对于中等分数段即70到80分之间的学生的人数的比较，由于第二、四两个学期的70分以下的人数减少，而大部分原来成绩徘徊在70到80分之间的人数却进步到80分以上了，因此在70分到80分这个成绩区间，第二第四学期的人数比较少，第一学期和第三学期的人数相对比较的多。
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5.1.3 结论
以上是我们通过已知数据结合统计知识，以第一学期作为参照，分析得出学生的总体在第二学期取得较大的进步，而在第三学期却相对与第二学期却略有些退步，但是相对与第一学期来比较，它们是有微小的进步的,在第四个学期相对与第三学期比较，学生的成绩又回升，因此可以看的出来学生的总体情况是稳步微小上升的。
5.1.4 模型评价
由于我们只是静态的对每个学期的综合成绩进行分析，而忽略了由于知识的累积性，并随着时间的推移学生的受教育程度也是在不断变化的。因此不同时期学生的基础条件是不同的。因此要想更科学客观的反映各个学期学生整体的学习效值就必须去除基础条件变化所造成的影响，方可更好的体现学生整体的学习状况以及知识掌握程度。下面我们运用马尔可夫链评估法对全体学生每相邻两个学期整体成绩进行分析评价。 5.2 马尔可夫链评估法模型
通常, 评定学生的整体情况学习效果, 多采用一些定性的分析方法。如通过根据教师在任课期间学生考试成绩的变化趋势来判断其优劣, 这样的评估方法并没有考虑学生基础的差异, 常常使判断结果不准确。单纯的根据“绝对分数”评价学生的学习状况，忽略了基础条件的差异；只对基础条件较好的学生起到促进作用，对基础条件相对薄弱的学生很难起到鼓励作用。为了能客观地评价学生的学习情况以及教师的教学效果, 应该排除掉学生基础的差异这一因素, 下面我们试图用马尔可夫链评估法对学生学习的整体情况进行评估[2]。
5.2.1 马尔可夫链评估法的步骤
如果一个马尔可夫链, 在t0时刻从任何一个状态ai出发到另一个时刻
t0??t处于状态aj的转移概率pij?t0,t0??t?只与?t有关时, 称马尔可夫链是齐
次的。根据教学规律与教学评估的需要, 本文只限于讨论齐次马尔可夫链在教学评估中的应用。其步骤如下： 第1步：确定状态变量
用向量形式表示:
R?t???x1?t?,x2?t?,x3?t?,?xm?t??
n??nnR?1???1,2,?m?
n??nnni为等级xi?t?的数量。
显然有：
?x(t)?1，
inR?t?为状态向量,xi?t?为状态分量。
i?1第2步：确定转移概率矩阵P
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?p11?P???????pm1?p1m????， pmn??其中：P?nij?nj?1m，nij为状态i到状态j转移的数量。
ij第3步：求出转移概率矩阵P的极限向量
根据齐次马尔可夫链的遍历性可知，它有极限分布x??x1,x2,?,xn?,它是方程组X?XP或xj??xipij的唯一解，其中j?1,2,?,n，并满足条件xj?0，
i?1n?xi?1nj?1的唯一解。
第4步：确定工作质量等级
根据最大原则,可取max?x1,x2,?,xn?所在等级来表示工作质量等级。 5.2.2 模型求解
首先，我们观察附录中所给出的学生综合成绩，结合每个学期的成绩分布图
像，可以看出分数分布较为紧密且无间隙。因此，我们对所给数据进行如下处理：先分别对1、2学期的所有学生成绩进行排名，再根据标准九分[2]将所有的排名从前到后按全体人数比例的4%，7%，12%，17%，20%， 20%，17%，12%， 7%，4% 划分为9个状态，部分结果如表7所示。其中aij表示某学生从第i状态转移到第j个状态，这里i,j=1，2??9，即“1”为第1名到第24名，“2”为第25名到67名，“3”为第68名到第140名，“4”为第141名到第244名，“5”为第244到367名，“6”为第368名到471名，“7”为第472名到544名，“8”为第544名到587名，“9”为第588名到612名。
表5：1-612号的学生1、2期综合成绩排名 学号 第1学期排名 第2学期排名
aij 1 2 3 4 162 264 529 63 353 379 566 103 45 56 78 23 ?? 609 610 611 612 ..... 416 121 9 579 ..... 271 195 14 381 ..... 65 34 11 86
然后，根据表7可求的相应的转移矩阵为:
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