?7/24?9/43??6/73??1/104?1/123??0?0??0?0?9/248/4312/7310/1042/12302/73005/2413/4325/7315/10410/1234/1041/73002/2412/4318/7331/12311/1044/73001/241/4311/7339/1237/736/430000001/732/10424/10418/7313/434/2500001/1238/10417/739/438/2526/10434/10416/10424/10430/10420/736/434/2527/12311/123?0??0??0?1/123??2/104?4/73??9/43?10/25??0
根据第3步有：
X?XP
即：
[I?P]X?0
其中I为单位向量。
故向量X?(x1x2x3x4x5x6x7x8x9)为转移矩阵P 的转置矩阵P'的特征值为1 的特征向量。
运用数学软件MATLAB编程实现上述步骤（参见附录1），调用eig函数求得特征值为1时对应的特征向量为：
x?[0.0392 0.0703 0.1193 0.1699 0.2010 0.1699 0.1193 0.0703 0.0408] 假定我们对每个状态赋给一定的值, 分别为9、8、7、6、5.、4、3、2、1
则加权后的平均成绩为:
S12?4.9935
同理，我们亦可求的二、三学期和三、四的学生学习效值：
S23?4.7325
S34=4.9378
5.2.3 结论分析
根据每个学期之间的比较，我们得出，四个学期中，第二学期相对与第一学期的比较，它们之间的学习效值是4.9935，而第二学期与第三学期之间的效值为4.7325，S23小于S12，说明第二学期整体水平进步的比第三学期进步的大。而对于S34即第三学期与第四学期之间的效值为4.9378，介于S12 与S23 之间，说明第四学期的学习整体水平进步比第三学期的要好，略小于第二学期的整体水平。
经过学习效值的比较，可以看出得到学生的整体水平在第二学期是最佳的，而第三学期有些退步，第四学期学生的整体水平却又是在进步的。因此学生的整体水平是在平稳的过程中逐步上升。
5.2.4 模型评价
由此可见, 用齐次马尔可夫链评估法来评估教学质量, 对学生的基础等因
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素给予了充分的考虑, 比以往的方法更为合理。更能全面真实地反映了学生的学习效果, 是很有实用价值的。但这种方法也不是完美无缺的。它并没有考虑环境对学生的影响, 也未考虑学生每次考试的心理因素。另外, 考试题的难易程度, 不同老师的评卷标准等因素也没有考虑。对于教师的教学效果的评估应该是综合因素[3 ]的评估, 而不是仅仅依据考试成绩, 从这个角度而言, 这种评估方法还具有一定的片面性。
六、问题二
经过上述的整体分析后，我们基本上能看出四个学期的整体情况，但仅有整体分析还是不够的，只有对学生个体再进行具体分析才能得到相对准确的评价结果。因此我们采用了三种模型从不同方面对学生个体的学习状况进行了评价。
正确的评价结果也是评价实践的重要环节，它直接关系到整个评价工作的水平和科学性程度，关系到对教育评价的正确认识和采取的管理措施。评价结果的表示有多种方法，概括地说，有定量的、定性的和定性定量相结合的三种表示方法。在本文中，以下三个模型的评价结果主要都是用名次定量的表示，并在最后辅以简单的诊断描述解释，将评价结果以语言描述的形式作出定性的结论。 6.1 标准分模型
由于每个学期测试的区分度和难易是不完全相同的，因此，如果我们要评判一个学生两个不同学期之间是否有进步，将原始分数作为学生学习成绩的评价指标就会有许多局限性：
首先, 它不能反映这个分数在总体中的相对地位；
其次, 由于试卷难易程度和评分标准不一, 原始分数没有可比性，即使同一学期的成绩也不能作纵向比较, 更不能将不同学期的原始分数作横向比较。
因此，我们引入标准分数方法[3]。标准分数是一个相对的数值, 不受原始测量单位的影响, 它本身是以平均数为零点, 以标准差为单位的一种单位量数, 具有可比性和可加性。运用原始分数转变标准分数的方法可以较客观地反映学生学习情况及其发展趋势。 标准分的计算方法是：
将原始分数与其平均数之差除以标准差所得的商数，来评定对象之间的差异，它是以标准差为单位，度量原始分数离开平均数的度量，标准分是一个抽象值，不受原始单位的影响，并且接受代数方法的处理。 标准分数的计算公式为：
x?XZ?
S其中：Z为标准分数
x为原始分数
X为原始分数的平均数 S为原始分数的标准差。 标准分数的导出分数：
根据标准分数的性质，我们可以把不易被一般人所理解的Z分时转换成易被大家明了的导出分数，其表达式为：
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Z'?A?BZ
其中：Z?为导出分数；
A在学校质量评价中设为60，意即合格； B为Z分数的扩大倍数。
因为在Z分布中，正负3个标准差已经包括了总面积的99.7%，如以百分制计算，以10为宜，同时又便于运算，则
Z??60?10Z
由于标准分数揭示了每一个原始分数在同一总体中的相对位置, 因此把原始分数转化为标准分数以后, 我们就可以进行比较了。
在对这些学生进行学习状况评价时，我们考虑到学生的学习状况不可能只与当前测试的成绩有关，它与前面三个学期的成绩也有关系，所以我们把这四个学期的标准分成绩相加再取平均分得出一个学生成绩的排名作为评价结果。
模型评价：
在标准分模型中，我们对原始数据进行进一步的处理，考虑到原始数据的不可加性等局限性，我们引入了标准分方法，此方法排除了原始分数评价尺度和内容的相异性，它是教育评价中常用的方法，因为它具有绝对零点，又是等距量数，且可以直接进行代数运算。这样才使得模型中的四个学期成绩直接相加成了可能，并形成了一个最简洁但又不失合理性的评价模型。 6.2 进步度评价模型
由标准分模型的分析过程可知，学生当前的学生状况与四个学期的综合成绩都有关系，但是在进行学习状况评价时，我们不能只看单纯的综合成绩，这样只能看出每个学生现在在整体中所处的位置，而看不出学生的努力程度和进步程度，无法区别学生的个体差异，对于一些基础不好但上进心强的学生就起到了负面激励作用，因此我们把学生各学期的进步度也作为一个要重点考虑的因素。
进步度评分方法是按时间进步分评价学生学习成绩的，依据美国测量学黑尔
[4]
其原理是:根据低水平学生和高水平学生成绩(hale)研制出的指数评价法进行。
提高幅度相等但权重不等的原则，用多种微分方差和指数方程来转换测验成绩，使较低水平学生大幅增长的成绩与较高水平选手小幅度增长的成绩可以进行比较。此方法是：首先，以现测成绩减去原始成绩之差为进步分，然后，对照T分进步度评价表（表6）查出该学生的成绩。使用举例：如某学生的原始成绩是70分，现测成绩是76，76-70=6分为进步分，按照进步度评价T分对照表70～74一栏从左到右横向查，进步分6分，所对应的得分为80分，那么，该学生的成绩为80分[5]。
表6： T分进步度评价表 得分 95-99 90-94 85-89 80-84 75-79 70-75 30 -24 -22 -20 -18 -16 -14 35 -22 -20 -18 -16 -14 -12 40 -20 -18 -16 -14 -12 -10 45 -18 -16 -14 -12 -10 -8 50 -16 -14 -12 -10 -8 -6 55 -14 -12 -10 -8 -6 -4 60 -12 -10 -8 -6 -4 -2 65 -10 -8 -6 -4 -2 0 70 -8 -6 -4 -2 0 2 75 -6 -4 -2 0 2 4 80 -4 -2 0 2 4 6 85 -2 0 2 4 6 8 90 0 2 4 6 8 10 95 2 4 6 8 10 12 100 4 6 8 10 12 14 12
65-69 60-65 55-59 50-54 45-49 40-44 35-39 30-34 25-29 20-24 15-19 10-14 5-9 0-5 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 根据上面的进步度评价表，我们可以计算出每个学生每个学期的进步度得分。根据所得的进步度分数得分，我们计算出学生的进步度排名作为我们的评价结果。
模型评价：
进步度评价法是一种动态评价法，它应用在学习效果评价中，是依据个体某种能力或成绩横向提高幅度的大小来判断成绩高低的一种量化评价方法。它关注的是能力变化的过程性评价，而不是终结性评价，评价结果反映了个体在某种能力变化过程中的努力程度大小。它的最大特点是照顾到个体的能力差异，不论其基础水平如何，只要努力，提高了成绩，就可以得到较高的分数。因此，进步度评价法的直接效果就是充分调动了大多数学生学习的积极性，减少了由于基础较差给个体带来的畏难情绪，对增强学生的学习兴趣和学习意识具有特殊的意义。
进步度评价法是大学生学习效果评价体系中的的重要组成部分，是对大学生课程学习过程努力程度进行的客观评价结果得到了大多数学生的认可，充分调动了大多数学生学习的积极性，充分显示了评价的合理性。 6.3 综合评价法
进步度是衡量学生学习效果的一个非常有效的指标，根据上述的进步度评价法可以得到一个合理的学习状况动态变化的排名，但是这样又忽略了静态成绩的激励效果。因此我们在以下模型中进行完善，同时在这个模型中，我们采用了一个新的进步度计算方法，相对于上面的指数评估法更通俗易懂。
对于所给定的612名学生4个学期的成绩，根据标准分模型中的方法，我们计算出每个学生的标准分。再将100分划分为10个计分段，分别统计出每个分段的对应频数和对象。分别计算每两个学期的分数差，即进步度差异值。
经过计算，我们发现有些同学进步分数多达33.469 分，而有些同学则退步了多达31.897 分，二者相差60多分。
由于80分以上的同学取得10分的进步是比70到80分的同学取得10分的进步要更难，因此，在评价进步度得分的时候，要给予公平合理的评判，由于不同的分数段，要取得的相同的进步分的难易程度是不同的。因此，我们采用了下
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面的方法使其合理的评价学生的进步度。
假设学生原始成绩标准分为a,进步的分数为t，进步度得分为H，分数越高的人要取得进步越来越难，因此，t与a成负相关性，而H与t成正相关性，对于一个标准分为a的学生，他所得到的进步区间是： [100?a,?a]。在下次测试中，如果他保持成绩不变的，此时他的进步度得分至少应该是及格，即60分。因此，对于成绩进步的学生来说，她们平均每增加一分，可以获得的进步度得分是：
100?a ?H?100?60而平均退步一分所减少的进步得分是
a?H??
60当a大于某个分数的时候，对于他来说，进步是很困难，想要保持原来的分数，至少也要付出一定的努力，因此，考80分的人，在下次考试中依旧考80分，那么他的进步度基础得分不应该是60分，而是大于60分了，因此对于他的进步度基础得分M是：
M?ka
我们取k?1；
因此对于任何一个学生的进步度得分是
H?M??H?t
因此我们得到每个学生各个学期的进步度得分。 由于条件的限制，我们综合评判一个学生的学习状况时，除了考虑他的综合成绩，同时还应结合他的进步情况，因此我们确定他的学习状况是{综合成绩，综合进步度得分}，我们分别给它赋予0.6，0.4的权重，即综合得分为：
Y?0.4?H?0.6?S
H为进步度得分，S为学习成绩得分
由此，我们得出他的综合得分，根据综合得分，我们给他们进行排名。
模型评价
我们结合学生的进步度和基础成绩这两个因素来评价学生的学习状况，相比于前面两个模型更完善，更具说服力。 6.4 评价结果的再评价
前面我们利用了3种方法评价学生的学习状况，使用SPSS软件和EXCEL软件进行分析处理。由于篇幅有限，我们直接给出结果并加以说明。
首先，对每学期成绩进行正态拟合检验，得到每学期成绩都服从正态分布；其次，算出上述三种模型的评价结果；最后，算出三种模型的排名结果的相关系数。从结果可以看出，按照不同的排名方案,每个学生的排名幅度变动的不是很大,只有极少数的学生的变化幅度较大。从总体角度来说，各种方案排名基本是一致的，但我们也可以看出，进步度评价法分析排名的结果与其他几种方案排名所得的结果有一定的出入，前几种方案排名较高的学生，进步度评价法排名反而较低，而前几种方案排名较低的学生，进步度评价法排名反而较高。计算并列出三种方法的排名之间的相关系数矩阵，为了检验各种方案所得排名结果之间的相关性，通过对各种排名结果进行相关分析，分析得到的相似系数矩阵如下：
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