此时，球外任意点的电位为 ??1a/da/d(??) （3.17） 4??0RR'rq由前可知，上式中的第一、二项共同作用在球面上，使球面的??0，则球的电位为 ?|r?a?q??4??0a?q4??0dR? R
即导体球不存在时，点电荷q在O点产生的电位。
2） 导体球不接地，带有总电荷为Q，则边界
图3.2.6 点电荷与不接地导体
条件为：导体球的电位不为零，导体球面
为一等位面，球面上的净电荷为零，球面的总电荷量为Q。
球面的镜像
aq放da在球上，则球面上的感应电荷总量为零，球上的电荷量便为Q了。根据叠加原理，Q?qd应均匀分布上球面上，对于球外点P，此电荷产生的电位等于它集中在球心所产生的电位，
在球内d?处放一像电荷q?，q?和球外的q使球面上的电位为零，把电荷量Q?即
aaqQ?q1qdd) （3.18） (?? ??4??0RR'r3） 点电荷位于电位为V0的导体球附近时，有?|r?a?V0，此时相当于在球心放置了电荷量
为4??0V0a的点电荷，即
V0?Q?4??0aQ?4??0r?Q??4??0aV0 4??0aVaV0?
4??0rr???aqVa1qd(?)?0 （3.19） 故 ??4??0RR'r4） 均匀电场中的导体球
如图3.2.7所示，均匀电场可看作是在无穷远处的两个正负电荷产生的，故有
??
14??0{Qr(2?R2?rR2Q??1/2c?os)r?R2(?rR2?2?1/2cos)
aQR?22(r?a4/R?a2r2R/aQR?/2242?cos1r)?a(R?ar/R2?2}/co1s/2图3.2.7 均匀电场中导体球的镜像
??14??(?2Q2Qa32rcos??22cos?)??R?r
0RRr当R??时，E0?2Q4??2Q?2??0E0R2
0R3???Ea????P???r0(r?r2)cos???E?r?4??3 0r
另一种解法：这里来研究一个导体球面的镜像问题。如图所示，
3.20） （在半径为R的接地导体球外，距球心为d处有一点电荷q。根据问题的对称性，可设镜像电荷(—q`)放在球心O与点电荷q的联线上，且距球心为b。虽然有
（1－78）
于是，球外任意点P的电位为
（1－79）
由此可知，点电荷附近接地导体球的影响，可用位于距球心b处的镜像电荷(—q`)来表示。也即(—q`)代替金属球面上感应电荷的作用。
镜像法对点电荷在双层介质引起的电场的应用。如图1—30所示，平面分界面S的左、右半空间分别充满介电常数为
与
的均匀介质，在左半空间距S为d处有一点电荷q，，右半空间电位为
求空间的电场。设左半空间电位为
这里使用这样的镜像系统：即认为左半空间的场由原来电荷q和在像点的像电荷q`所产生(这时介电常数
的介质布满整个空间)；又认为右半空间的场由位于原来点电荷q处的
的介质布满整个空间)。
像电荷q``单独产生(这时介电常数为
故两介质中的电位表达式为
（1－80）
（1－81）
（1－82）
（1－83）
例4 不接地空心导体球的内、外半径分别为a和b，在空腔内距球心为d1(d1?a)处放置点电荷q1，在球外距球心为d2(d2?b)处放置点电荷q2，且q1,q2与球心共线，如图3.2.8所示，求点电荷q1和q2分别受到的电场力。
解 由于球壳不接地，点电荷q1在球壳的内表面上感应电荷为?q1，在球壳的外表面上感应电荷为q1；而q2则在球壳的
图3.2.8 不接地的空心导体球
?等效代外表面上感应等量异号的电荷。球壳内表面上的感应电荷?q1可用一个镜像电荷q1?,q2??和q1??等效代替。q1受到的电场力等替，球壳外表面上的感应电荷可用三个镜像电荷q2?,q2??和q1???对q1的作用力，q2受到的电场力则等于q2于q1对q2的作用力之和。
根据镜像法，内表面上的感应电荷的镜像电荷为
aa2' q??q1，位于d1?
d1d1'1图3.2.9 空心导体球内表面的镜像
如图3.2.9所示。
外表面上的感应电荷的镜像电荷为
bb2'q??q2，位于d2?
d2d2'2\q2?b\q2，位于d2?0 d2图3.2.10 空心导体球外表面的镜
\q1?q1，位于d1\?0
如图3.2.10所示。
点电荷q1受到的静电力为 F1?Fq'1?q1点电荷q2受到的静电力为
ad1q12 ??2224??0(a?d1)F2?Fq\1?q2?Fq'2?q2?Fq\2?q2\\\qq1qq2qq2 ???\2'2\24??0(d?d1)4??0(d?d2)4??0(d?d2)2q2(bq2?d2q1)bd2q2)?[?]224??0d2(d2?b2)213．线电荷对导体圆柱面的镜像
例.5 在半径为a的无限长接地导体圆柱外有一根与圆柱轴线平行的无限长线电荷，线电荷密度为?l，与圆柱轴线的距离为d，求柱外任意点的电位。 解 无限长带电直线的电位为 ?P??lrln1 （3.21） 2??0r其中r1为带电直线到电位零点的距离,q为带电直线到场点的距离。
B
图3.2.11 线电荷与导体圆柱的镜像
如图3.2.11所示，设镜像线电荷为?l?，距O点的距离为d?，若取B点为无限长线电荷的电位参考点，则有
?P??l??MBO?B ln?lln2??0R2??0R????l??RR? （3.22） ln?lln?2??0d?a2??0a?d对于柱面外任意一点P，有
R?d?r?2rdcos? （3.23） R??d??r?2rd?cos? （3.34） 将式（3.22）、（3.23）、（3.24）代入边界条件（3.21）中，得
222222