?l?l?d2?a2?2adcos?d?2?a2?2ad?cos??|r?a??ln?ln?0 （3.35）
2??0d?a2??0a?d?满足上式的一组最简单的解为
??l????l ?2?d?a/d?柱外任一点的电位为 ?P???l??RR?R?(d?a) （3.36） ln?lln?lln2??0d?a2??0a?d?2??0R(a?d?)4点电荷对无限大介质平面的镜像
例6 在无限空间中有两种介质，介电常数分别为?1和?2，其分界面为平面s，在上半空间的(0,0,h)处放一点电荷q，如图3.2.12所示，求两种介质中的电位分布。
解 空间中任意一点的电场是由点电荷q与介质分界面上的极化电荷共同产生的，在这种情况下，镜像电荷的作用就等效于介质分界面上的极化电荷对电场的贡献。取分界面为z?0的平面，且点电荷在z轴上。设上半空间电位为?1，下半空间电位为?2。?1和?2应满足下列定解条件：
图3.2.12 点电荷与两种介质分界面
?1)在上半空间?2?1?0除q点外??在下半空间?2?2?0??
?1|??0?2|??0?2)在无穷远处???1??2???3)在分界面上(z?0)???1??2????12??z??z?在计算介质1中的电位时，用介质2中的镜像电荷q?来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为?1的均匀介质，如图3.2.13所示。在计算介质2中的电位时，用介质1中的镜像电荷q??来代替点电荷q与分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为?1的均匀介质，如图3.2.14所示。在介质1、2中任一点P的电位分别为
?1?qq?(?)4??1rr?11 z?0 （3.37）
q?? ?2?4??2r?? z?0 （3.38）
图3.2.13 介质1中的镜像电荷
显然，?1、?2均满足定解条件1）、2），再利用边界条件3）可确定q?和q??的值，其中
r?x2?y2?(z?h)2r??x2?y2?(z?h)2 r???x2?y2?(z?h)2在界面上，z?0,r?r??r??，利用边界条件3）得到
1?1(q?q')?1?2q??
图3.2.14 介质2中的镜像电荷
q?q??q??
上两式联立求解，可得
?1??2q?k12q?1??2
2?2q???q?(1?k12)q?1??2q??式中，k12?电位分别为
?1??2，称为介质2对介质1的反射系数，(1?k12)称为透射系数。介质中的
?1??2qkq(?2)4??1rr?11(1?k12)q4??2r???1?z?0 （3.39）
?2?z?0 （3.40）
注：边值问题的分类：
根据问题所给的边界条件不同，边值问题分为以下三类：
1） 第一类边值问题是指所给定的边界条件为整个边界上的电位值，又称为狄里赫利问
题；
2） 第二类边值问题是指所给定的边界条件为整个边界上的电位法向导数值，又称为纽
曼问题；
3） 第三类边值问题是指所给定的边界条件部分为电位值，部分为电位法向导数值，又
称为混合边值问题。
如果边界是导体，则上述三类问题变为：已知各导体表面的电位；已知各导体的总电量；已知一部分导体表面的电位和另一部分导体的电荷量。
注:点位即电势。 唯一性定理：
在边值问题的求解中，对于一维问题可以直接用积分方法求解，但是二、三维问题如果用积分求解会变得非常复杂，对于这一类问题一般可采用间接求解方法。在讨论这些方法之前，需要解决这样一个问题：满足泊松方程或拉普拉斯方程和给定的边界条件的解是否唯一？在什么条件下是唯一的？答案是只有一个唯一解，这就是唯一性定理。此定理的表述十分简单：满足泊松方程或拉普拉斯方程及所给的全部边界条件的解?是唯一的。
也就是说，若要保证?为问题的唯一正确解，?必须满足两个条件。
第一， 要满足方程?2?????或?2??0，这是必要条件；
第二， 在整个边界上满足所给定的边界条件。所谓边界条件包含了边值问题给出的三
种情况。