2检验H0:?B?0，F?SSB/(q?1)?F(q?1,(p?1)(q?1))
SSE/(p?1)(q?1)
2.3平衡设计下有交互作用模型
按试验设计的不同，方差分析可分为析因设计方差分析和嵌套设计方差分析两大类。
2.3.1析因设计(factorial design)—两因素方差分析
2.3.1.1 固定效应模型
?yijk????i??j??ij??ijk,i?1,...,p,j?1,...,q,k?1,...,r?2 ??ijk~N(0,?),且相互独立???0,??0,??0?j?ij??i因素A和因素B的各水平均全面搭配，试验设计的模式为： ? ? BjBq B2 B1 A1 A2 AB11 AB12 ? ? AB1j AB2j ? ? AB1q AB2q AB21 AB22 ? Ai ? ABi1 ? ABi2 ? ? ? ABij ? ? ? ABiq ? Ap ? ? ? ? ? ABpj ? ? ? ABpq ABp1 ABp2
方差分析的过程如下：
（1）根据模型确定平方和及自由度的分解,由模型知：
yijk????i??j??ij??ijk
因此总平方和的分解为：
SST?SSA?SSB?SSAB?SSE SST????(yijk?y)2
i?1j?1k?1pqrSSA????(yi???y)?qr?(yi???y)2
2i?1j?1k?1pqri?1qpqrpSSB????(y?j??y)?pr?(y?j??y)2
2i?1j?1k?1pqj?1SSAB????(yij??yi??y?j?y)?r??(yij??yi??y?j?y)2
2i?1j?1k?1qri?1j?1rpqSSE????(yijk?yij?)2或SSE?SST?SSA?SSB?SSAB
i?1j?1k?1p自由度分解：
dfT?dfA?dfB?dfAB?dfE
(pqr?1)?(p?1)?(q?1)?(p?1)(q?1)?pq(r?1)
（2）计算各项的均方
可用以下的方式算出（这只是个记忆的形式，具体的推导则是直接进行，或用线性模型的结论也可以）
固定效应模型的均方的计算： 因素 固定 固定 随机 p q r 系数 （效应值）参数 j i k 下标 q r 0 p?i 21?i p?1?i?1?j 效应 p 0 r 1q?1??j?1q2j pq?ij ?ijk 0 0 r 1(p?1)(q?1)???i?1j?12ij 1 1 1 ?2 上表中的数字的特点：对于固定效应下标的那一项中填0，在其他项中填第二行相应的系数；对于随机误差项，其下标的各项均填1
由上表计算各项均方的期望值，规则如下： i)在期望均方中包括效应值下标的所有项
ii)所包括的参数项的系数是不包括效应值下标的系数的乘积
如效应?i的均方期望值应包括效应?i，?ij，?ijk（因为这些项的下标中均含有i），这三项
参数前的系数如下：
1E(MSA)?(1?1)??(0?r)(p?1)(q?1)????qr22iji?1j?1pq1p?1??i?1qp2i=??2qrp?1??i?1p2i
其他效应项的均方可仿照写出：
E(MSB)?(1?1)??(0?r)21(p?1)(q?1)????pr2iji?1j?12ij2pq1q?1??=??2j2j?1pqprq?12??j j?1q21r（注：AB的交互效应项只E(MSAB)?(1)??(r)(p?1)(q?1)??????(p?1)(q?1)???ij2i?1j?1i?1j?1pq包括?ij，?ijk）
E(MSE)??2
（3）进行假设检验： 对因素A的主效应检验：H0:p??i?12i，检?0（相当于检验：H0:?1??2????p?0）
验统计量FA?MSA?F(dfA,dfE) MSE对因素B主效应的检验：H0:??j?1q2j，检?0（相当于检验：H0:?1??2????q?0）
验统计量FB?MSB?F(dfB,dfE) MSE对A，B的交互效应的检验：H0:???i?1j?1pq2ij?0
（相当于检验：H0:?11????1q????pq?0）， 检验统计量FAB?MSAB?F(dfAB,dfE) MSE2.3.1.1 随机效应模型
在上面的模型中，若因素A和B均为随机效应，则模型的表示为：
?yijk????i??j??ij??ijk,i?1,...,p,j?1,...,q,k?1,...,r? ???~N(0,?2),且相互独立?ijk平均和及自由度的分解与固定效应模型相同，只是在计算均方时有差别，从而导致检验的统计量也不同。下面仅针对这两项进行说明： （2'）计算各项的均方
随机效应模型的均方的计算： 因素 随机 随机 随机 （效应值）参p q r 系数 数 j i k下标 q r 1 2?i ?A?j 效应 p 1 1 1 1 1 r r 1 2 ?B?ij ?ijk 2 ?AB?2 上表中的数字的特点：对于随机效应下标的那一项中填1，在其他项中填第二行相应的系数；对于随机误差项，其下标的各项均填1
由上表计算各项均方的期望值，规则如下： i)在期望均方中包括效应值下标的所有项
ii)所包括的参数项的系数是不包括效应值下标的系数的乘积
如效应?i的均方期望值应包括效应?i，?ij，?ijk（因为这些项的下标中均含有i），这三项参数前的系数如下：
2222=?2?r?AB E(MSA)?(1?1)?2?(1?r)?AB?qr?A?qr?A其他效应项的均方可仿照写出：
2222=?2?r?AB E(MSB)?(1?1)?2?(1?r)?AB?pr?B?pr?B22（注：AB的交互效应项只包括?ij，?ijk） E(MSAB)?(1)?2?(r)?AB??2?r?ABE(MSE)??2
（3'）进行假设检验：
2对因素A的主效应检验：H0:?A?0，检验统计量FA?MSA?F(dfA,dfAB) MSABMSB?F(dfB,dfAB) MSABMSAB?F(dfAB,dfE) MSE2对因素B主效应的检验：H0:?B?0，检验统计量FB?2对A，B的交互效应的检验：H0:?AB?0，检验统计量FAB?2.3.1.1 混合效应模型
设因素A为固定效应，因素B为随机效应，则方差分析模型为：
?yijk????i??j??ij??ijk,i?1,...,p,j?1,...,q,k?1,...,r?2 ??ijk~N(0,?),且相互独立???0??i模型的分解与固定效应一样（指平方和及自由度的分解与固定效应模型一样），差别仍在均方的估计和检验统计量上，具体地： （2\）计算各项的均方
混合效应模型的均方的计算： 因素 系数 下标 固定 p 随机 q 随机 r （效应值）参数 i 0 ?i j q k r 1p?1??i?1p2i 效应 ?j ?ij ?ijk p 0 1 1 1 1 r r 1 2 ?B2 ?AB?2 上表中的数字的特点：
对固定效应项下标的那一项中填0，其他项填第二行相应的系数； 对于随机效应下标的那一项中填1，在其他项中填第二行相应的系数； 对于随机误差项，其下标的各项均填1
由上表计算各项均方的期望值，规则如下： i)在期望均方中包括效应值下标的所有项
ii)所包括的参数项的系数是不包括效应值下标的系数的乘积
如效应?i的均方期望值应包括效应?i，?ij，?ijk（因为这些项的下标中均含有i），这三项参数前的系数如下：
E(MSA)?(1?1)??(1?r)?22AB?qr1p?1??i?1p2i=??r?22AB?qrp?1??i?1p2i
其他效应项的均方可仿照写出：
222=?2?pr?B E(MSB)?(1?1)?2?(0?r)?AB?pr?B22（注：AB的交互效应项只包括?ij，?ijk） E(MSAB)?(1)?2?(r)?AB??2?r?AB