E(MSE)??2
（3\）进行假设检验： 对因素A的主效应检验：H0:p??i?12i， ?0（相当于检验：H0:?1??2????p?0）
检验统计量FA?MSA?F(dfA,dfAB) MSABMSB?F(dfB,dfE) MSEMSAB?F(dfAB,dfE) MSE2对因素B主效应的检验：H0:?B?0，检验统计量FB?2对A，B的交互效应的检验：H0:?AB?0，检验统计量FAB?
2.3.2嵌套设计(nested design)—两因素方差分析
因素B嵌套在因素A内，其试验设计如下表 因素A 因素A中的因素B ? ? Bj(1) A1 A2 B1(1) B2(1) Bq(1) B1(2) B2(2) ? Bj(2) ? Bq(2) ? Ai ? B1(i) ? B2(i) ? ? ? Bj(i) ? ? ? Bq(i) ? Ap ? ? ? ? ? Bj(p) ? ? ? Bq(p) B1(p) B2(p) 模型如下： ??yijk????i??j(i)??ijk,i?1,...,p,j?1,...,q,k?1,...,r??2 ??ijk~N(0,?),且相互独立?q???i?0,??j(i)?0?j?1??j(i)是因素A第i水平中因素B第j水平的效应
2.3.2.1 固定效应模型
方差分析的步骤如下：
（1）根据模型对平方和与自由度进行分解 模型为yijk????i??j(i)??ijk 则平方和分解为如下三项：
SST?SSA?SSB(A)?SSE
其中：
SST????(yijk?y)2
i?1j?1k?1pqrpqrSSA????(yi???y)?qr?(yi???y)2
2i?1j?1k?1i?1pSSB(A)????(yij??yi??)?r??(yij??yi??)2
2i?1j?1k?1qri?1j?1pqrpqSSE????(yijk?yij?)2或SSE?SST?SSA?SSB(A)
i?1j?1k?1p自由度分解：
dfT?dfA?dfB?dfAB?dfE
(pqr?1)?(p?1)?p(q?1)?pq(r?1)
（2）均方的计算 因素 系数 下标 固定 p 固定 q 随机 r （效应值）参数 i 0 ?i j q k r 1p?1??i?1p2i q 效应 ?j(i) ?ijk 20 0 r 1p(q?1)???i?1j?1p2j(i) 1 1 pq1 p?2 1p?1E(MSA)?(1?1)??(0?r)1p(q?1)???i?1j?12j(i)?(q?r)??i?12i=??2qrp?1??i?1p2i
1E(MSB(A))?(1)??(r)p(q?1)???2i?1j?1pq2j(i)=??2rp(q?1)???i?1j?1pq2j(i)
E(MSE)??2
（3）假设检验
对因素A的主效应检验：H0:2， ??i?0（相当于检验：H0:?1??2????p?0）i?1p检验统计量FA?MSA?F(dfA,dfE) MSE2???j(i)?0，检验统计量i?1j?1pq对因素A中因素B的效应的检验：H0:FB?MSB(A)MSE?F(dfB,dfE)
2.3.2.2 随机效应模型 （2'）均方期望的计算 因素 随机 p 系数 下标 随机 q 随机 r （效应值）参数 i 1 1 1 ?i 效应 j q 1 1 k r r 1 2 ?A?j(i) ?ijk 2?B(A) ?2 22222=E(MSA)?(1?1)?2?(1?r)?B?(q?r)???r??qr?(A)AB(A)A 222E(MSB(A))?(1)?2?(r)?B(A)=??r?B(A)
E(MSE)??2
（3'）假设检验
2对因素A的主效应检验：H0:?A?0，检验统计量FA?MSA?F(dfA,dfB(A))
MSB(A)2对因素A中因素B的效应的检验：检验统计量FB?H0:?B(A)?0，
MSB(A)MSE?F(dfB(A),dfE)
2.3.2.3 混合效应模型 （2\）均方期望的计算 因素 固定 p 系数 下标 随机 q 随机 r （效应值）参数 i 0 ?i 效应 j q k r 1p?1??i?1p2i ?j(i) ?ijk 20 1 1 1 r 1 p2?B(A) ?2 2iE(MSA)?(1?1)??(1?r)?2B(A)?(q?r)1p?1??i?1=??r?22B(A)?qrp?1??i?1p2i
222E(MSB(A))?(1)?2?(r)?B(A)=??r?B(A)
E(MSE)??2
（3\）假设检验
对因素A的主效应检验：H0:p??i?12i， ?0（相当于检验：H0:?1??2????p?0）
检验统计量FA?MSA?F(dfA,dfB(A))
MSB(A)2对因素A中因素B的效应的检验：检验统计量FB?H0:?B(A)?0，
MSB(A)MSE?F(dfB(A),dfE)
2.4 不平衡设计模型
仍以两因素方差分析为例，进行说明此方法如何进行操作。我们知道，方差分析本质是一个线性模型，Y?Xb?e可以写成分块表示：Y?1??XAα?XBβ?e（符
??X?Y ??(??,α?,β?)?）号的意义一看就明白了，，回归平方和的计算公式为：SSR?bb?1????)?X??Y????X?Y，自由度??,β??X?AY?β?,α?1?Y?α回归平方和为：RSS(?,α,β)?(?B?A??X???B?为rk(X)
残差平方和：SSE(?,α,β)?Y?Y?RSS(?,α,β)，自由度为：n?rk(X)
方差分析表： 变异自由度 来源 因素rk(1?XA)?1 （处A理） 因素rk(X)?rk(1?XA) （区B组） 误差 n?rk(X) 平方和（I型） SSR(α|?) 均方（I型） SSR(α|?) rk(1?XA)?1F值 MSR(α|?) MSE(?,α)MSR(α|?)?FA?SSR(β|?,α) MSR(β|?,α)?SSR(β|?,α)MSR(β|?,α) FB? rk(X)?rk(1?XA)MSE(?,α,β)SSE(?,α,β) 检验H0:α?0 有两种做法： 顺序分解（即所谓的I型平方和分解）：全模型为因素A时的情况，不考虑
因素B的情况。
平方和的增量：SSR(α|?)?SSR(?,α)?SSR(?)，dfA?rk(1?XA)?1 残差平方和：SSE(?,α)?Y?Y?RSS(?,α)，dfE?n?rk(1?XA) 检验统计量：FA?检验H0:β?0
顺序分解法：此时的全模型为因素A，因素B均在的情况。
SSR(β|?,α)?SSR(?,α,β)?SSR(?,α)，平方和的增量：dfA?rk(X)?rk(1?XA)
MSR(α|?)?F(rk(1?XA)?1,n?rk(1?XA))
MSE(?,α)