机车启动问题
机车启动问题相对于前面几个问题而言，情境的描述往往没有那么多样，但其依然是学员眼中的一个难点。那么它又难在哪里呢？机车启动有两种基本方式，恒定功率启动和恒定加速度启动。功率要恒定的话，牵引力就得变，机车的加速度就得变，机车就做了变加速直线运动。恒定加速度启动，牵引力不变，但功率在变，当功率达到恒定功率时，有变成了恒定功率运动。不难看出，机车启动问题涉及到了匀变速直线运动、变加速运动、恒力做功、变力做功、功率等多方面问题，其运动形式也很难见到较为单一的题目。而且，机车启动题目能够较好的考查学生对牛顿运动定律、运动学规律、功率、动能定理等主干知识的掌握程度。因此机车启动问题也便成为了命题专家较为心仪的题目，翻开各地试卷这类题目不难找见。其实，解决机车启动问题是有有规律可循和要有一定的研究方法的，只要能熟练掌握求解的规律和方法，再加之细心审题和运算，此类题目也是不难处理的！
1 基本机车启动问题
例|1（09·四川）图示为修建高层建筑常用的塔式起重机。在起重机将质量m?5?10kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上作匀加
2速直线运动，加速度a?0.2m/s，当起重机输出功率达到其允许的最大值
3时，保持该功率直到重物做vm?1.02m/s的匀速运动。取g?10m/s，不计额外功。求：
（1）起重机允许输出的最大功率。
（2）重物做匀加速运动所经历的时间和起重机在第2秒末的输出功率。
【启导】物体匀速运动时起重机功率最大，牵引力等于重力，最大速度已知，由P?Fv可求出起重机最大功率。物体开始做匀加速运动，可由牛顿第二定律求出加速度，这一阶段末状态起重机功率已经达到额定值，由此可求出物体此时的速度，然后再结合速度公式就可
2以求出匀加速运动的时间了。至于起重机第2秒末的输出功率，先要确定好第2秒末物体的状态，若处于加速状态就根据瞬时功率表达式计算，若处于匀速状态则为额定功率。 【解析】（1）设起重机允许输出的最大功率为P0，重物达到最大速度时，拉力F0等于重力，则
P0=F0vm ① P0=mg ②
代入数据，解得 P0=5.1×104W ③
（2）匀加速运动结束时，起重机达到允许输出的最大功率，设此时重物受到的拉力为F，速度为v1，匀加速运动经历时间为t1，则
P0=F0v1 ④ F-mg=ma ⑤ v1=at1 ⑥
联立③④⑤⑥式，解得 t1=5 s ⑦ t=2 s时，重物处于匀加速运动阶段，设此时速度为v2，输出功率为P，则
v2=at ⑧ P=Fv2 ⑨
联立⑤⑧⑨式，解得 P=2.04×104W
【答案】（1）5.1×104W （2）5 s 2.04×104W
【品味】本题利用了起重机吊物考查了类似机车启动的最基本规律，题中虽然始终不见机车，但实际上却是地地道道的“机车启动”问题。对此类问题我们要特别牢记：（1）当
P?Fv，牵引力等于阻力时，其速度最大；（2）匀加速阶段的三个基本方程：F?mg?ma，
v?at。
2 涉功能机车启动问题
例|2电动机通过一绳子吊起质量为8kg的物体，绳的拉力不能超过120N，电动机的输
出功率不能超过1200W，要将此物体由静止起用最快的方式吊高90m（已知此物体被吊高接近90m时，已开始以最大速度匀速上升）所用时间为多少？（g取10m/s2）
【启导】本题虽与上题情境颇为相似，但考查的角度却是有很大区别的。从题设中“将此物体由静止起用最快的方式吊高90m”可得知开始时应用绳子最大拉力拉物体，而且从题
目括号内的说明可知在物体被吊到90m之前就已经匀速运动了，若果能分别求出两个阶段的时间就可以求出总时间。匀加速阶段的时间根据上题所总结的三个方程就可以求出来，但第二阶段的时间怎么算呢？
【解析】开始一段时间，绳以最大拉力拉物体，使物体做匀加速运动，则
Fm?mg?ma
解得 a?5m/s2 匀加速运动的末速度为
v1?Pm?10m/s Fmv1?2s a上升的时间 t1?v12?10m 上升的高度 h?2a在功率恒定的过程中，最后匀速运动的速率为
vm?由动能定理得
PmPm??15m/s FmgPmt2?mgh2?代入数据，解得 t2?5.75s 所以 t?t1?t2?7.75s 【答案】7.75s
112mvm?mv12 22【品味】本题第二阶段，电动机功率恒定，牵引力为变力，物体做变加速运动，要求时间，从直线运动规律和牛顿运动定律角度就很不好办了。不过要能想到应用动能定理，那就柳暗花明了。这一阶段虽为变力做功，但功率是恒定的，功率与时间的乘积就是牵引力做的功。其实动能定理是我们分析这种功率恒定的变力做功问题的常用方法手段，要注意掌握。
3 双启动问题
例|3一种采用电力和内燃机双动力驱动的新型列车，质量为m，当它在平直的铁轨上
行驶时，若只采用内燃机驱动，发动机额定功率功率为P1，列车能达到的最大速度为v1。若只采用电力驱动，发动机的额定功率功率为P2。现由于某种原因列车停在倾角为?的坡道上，为了保证列车有足够大的动力，需改为电力驱动。若让列车由静止开始匀加速启动，加速度为a，已知重力加速度为g，列车在坡道上行驶所受的阻力是在平直铁道上行驶时的
k倍，试求列车能保持匀加速运动的时间。
【启导】本题中同时涉及到了两种运动，但仔细分析发现内燃机驱动（也就是恒定功率起动）只是一种条件，能够求出列车受到的阻力。然后再根据电力驱动（恒定加速度启动）规律计算时间。不过要注意机车是在斜面上运动。
【解析】内燃机驱动时，当列车以额定功率匀速行驶时速度最大，则
P1?Ffv1
当列车上坡时，采用电力驱动，则
F?mgsin??kFf?ma
v?at P2?Fv
联立以上各式，解得
t?P2v1 ?a?mgvsin??kP?mav111【答案】
P2v1
a?mgv1sin??kP1?mav1?【品味】读懂题目，弄清物理量间的关系，是求解本题的关键。另外，由于机车置于斜坡上，因此在分析时要注意对重力沿斜面分量的影响。
4 STS机车启动问题
例|4电动自行车是目前较为实用的代步工具，某厂生产的一种电动自行车，设计质量（包括人）m?80kg，动力电源选用能量存储为“36V 10Ah”（即输出电压为36V，工作电流与工作时间的乘积为10安培小时）的蓄电池（不计内阻），所用电动机的输入功率有两档，分别为PW和P2?180W，考虑到传动摩擦以及电机发热等各种因素造成的损1?120耗，电动自行车行驶时的功率为输入功率的80％，如果电动自行车在平直公路上行驶时所受阻力与行驶速率和自行车对地面的压力都成正比，即Ff?kmgv，其中
k?5.0?10?3s?m2，g取10m/s2。求：
（1）电动自行车分别采用两档行驶时，行驶的最长时间分别是多少？ （2）电动自行车在平直公路上能达到的最大速度。
（3）估算选用“功率高档”时电动自行车在平直公路上的最大行程。
【启导】从题设信息可以得知电池容量，如果再能根据功率与电压求出电流，就可以求出时间。第（2）问中求出牵引力和有用功率，按照瞬时功率表达式就可以求出最大速度。第（3）问中由“估算”与实际情况可近似认为自行车匀速运动，又以功率高档能够行使的最长时间已经求出，故最大行程即可求出。
【解析】（1）根据公式P?UI，可得两档电流分别为
I1?P110?A U3P2?5A UI2?再根据电池容量可得
t1?10?3h I110?2h I2t2?当电动自行车以最大功率行驶至匀速状态时速度最大，则
F牵?kmgvm