习题一
1.计算下列排列的逆序数 1）9级排列 134782695； 2）n级排列 n(n?1)?2。1
解：（1）?(134782695)?0?4?0?0?4?2?0?0?0?10 ； （2）?[n(n?1)?21]?(n?1)?(n?2)???1?0?2.选择i和k，使得：
1）1274i56k9成奇排列； 2）1i25k4897为偶排列。
解：（1）令i?3,k?8，则排列的逆序数为：?(127435689)?5，排列为奇排列。从而i?3,k?8。
（2）令i?3,k?6，则排列的逆序数为：?(132564897)?5，排列为奇排列。与题意不符，从而i?6,k?3。 3.由定义计算行列式
n(n?1) 。 2a11a21 a31a41a51
aaaaa1222324252000aa000a53a43000 。 a5a4444555解：行列式＝
j1j2j3j4j5?(?1)?(j1j2j3j4j5)a1j1a2j2a3j3a4j4a5j5，因为j1,j2,j3至少有一个大于3，
所以a1j1a2j2a3j3中至少有一数为0，从而a1j1a2j2a3j3a4j4a5j5?0（任意j1,j2,j3,j4,j5），于是
j1j2j3j4j5?(?1)?(j1j2j3j4j5)a1j1a2j2a3j3a4j4a5j5?0 。
4.计算行列式：
40?211）?131； 2）
122?41?14?1111； 3）
1?111011?101111251202142； 07a213279b24）；5）21284c1?5?12525d2146416(a?1)2(b?1)2(c?1)2(d?1)2(a?2)2(b?2)2(c?2)2(d?2)2(a?3)2(b?3)2。 2(c?3)(d?3)2解：（1） －40 ； （2） －16 ；（3） 0 ；（4）－1008 ；（5） 0 。
5.计算n阶行列式：
xy0?001230xy?001?1000x?0002?2 1）； 2）
?????????000?xy000y00?0x000?n?1n?00?00；
????2?n0?n?11?n1?a1111?a2 3）
??11x????y122?21222?21（ai?0）； 4）223?2 。 ??????1?an222?n?00y0?000x?00xy?00解：（1）原式=x??????(?1)n?1y0x?00（按第一列展
00?xy?????00?0x00?xy开）
=xn?(?1)n?1yn 。
n(n?1)2320?1000?2（2）行列式=
???000000?n?1n?00?00（后n?1列和加到第一列，????2?n0?01?n再按第一列展开）
n(n?1)(?1)(?2)?(1?n) =2(n?1)! =(?1)n?1 。
2111?101?a11?111?a2?1（第一行第一列为添加的部分，注意（3）行列式=0?????011?1?an此时为n?1级行列式）
111?0???1c1?1c21?00a11c1?c3a2 ??r2?r1r3?r1?1a1?1??1?011???a1an00?01a10010??1000a2?rn?1?r11?c1?cn?1an??a2?0
0?an?????an =(1?11???)a1a2?an 。 a1an122?200?0r2?r11r3?r10 （4）行列式?101??rn?r1?????100?n?222?21?02?10=1?(?1)（按第二行展开） ????00?n?2??2(n?2)! 。
提高题
1.已知n级排列j1j2?jn?1jn的逆序数为k，求排列jnjn?1?j2j1的逆序数。 解：设原排列j1j2?jn?1jn中1前面比1大的数的个数为k1，则1后面比1大的数的个数为(n?1)?k1，于是新排列jnjn?1?j2j1中1前比1大的个数为(n?1)?k1个；依此类推，原排列j1j2?jn?1jn中数i前面比i大的数的个数为ki，则新排列
jnjn?1?j2j1中
n)?1i前比in?大的个数为
(n?i)?ki个记
?(j1?j2n?jkj1?k2???k1，?k故新排列的逆序数为
n(n?1)?k。 2[(n?1)?k1]?[(n?2)?k2]??[(n?(n?1)?kn?1]?1?2??(n?1)?k?2.由行列式定义计算
2xx121x1?14 f(x)?中x与x3的系数，并说明理由。
32x1111x解： 由于行列式定义中的每一项来自于不同行和不同列的n个元素的乘积。而该行列式中每个元素最高含x的一次项，因此x4的项只能由对角线上的元素乘积所得到x4，故x4的系数为(?1)?(1234)?2＝2。
同样的考虑可得x3的系数为(?1)?(2134)＝－1。
1xx21a1a1223.设P(x)?1a2a2???21an?1an?1?????xn?1a1n?1n?1 ，其中ai互不相同。 a2?n?1an?1 1）说明P(x)是一个n?1次多项式； 2）求P(x)?0的根。
解：1) 把P(x)按第一行展开得：P(x)?A11?1?A12?x???A1n?xn?1。
11而A1n??1a1a2??a1n?2n?2?a2?0 ，所以P(x)是一个n?1次多项式。
??n?2an?1?an?1根据范德蒙行列式
P(x)?(x?a1)(x?a2)?(x?an?1)(a1?a2)?(a1?an)(a2?a3)?(a2?an?1)?(an?2?an?1)
2) 因为x?ai （i?1,2,?,n?1）代入P(x)中有两行元素相同，所以行列
式为零，从而P(x)?0的根为a1,a2,?,an?1 。
习题二解答
1. 计算 1）?x1x2?a11?x3??a21?a?31a12a22a32a13??x1????a23??x2? ；
?a33????x3??0??10??；求 A2、A3、A4。 2）已知A???10???10??222解：1）a11x1 ； ?(a12?a21)x1x2?(a13?a31)x1x3?a22x2?(a23?a32)x2x3?a33x3?0??0??0???????000000? ；A3??? ；A4??? 。 2）A2???100??000??000???????10010000000???????311??11?1?????2. 设 1）A??212?，B??2?10?，求 AB?BA。
?101??123??????abc??1ac????? 2）A??cba?，B??1bb?，求 AB。
?111??1ca?????