?a11a12?a21a22证明：1）记A???????an1an2????a1n??a11?a12???a1n????a2n?a?a???a21222n?，则AX??。
????????ann?a?a???ann??n1n2?a???a 2）若A的每一行元素之和等于常数a，由1）AX????aX ，由于A??????a?可逆，所以a?0。从而A?1X?11X，即A?1的每一行元素之和等于常数 。 aa4. 证明：
1）上（下）三角矩阵的乘积仍是上（下）三角矩阵； 2）可逆的上（下）三角矩阵的逆仍是上（下）三角矩阵。 证明：1）记A?aij??n?n，B?bjk??n?n为上三角矩阵，C?AB 。则i?j?k时，
aij?0 ，bjk?0。对任意s，当i?s时，ais?0，当k?i?s时bsk?0，即任
意s，aisbsk?0。从而i?k时，cik?ai1b1j???aisbsk???ainbnk?0。故上三角矩阵的乘积仍是上三角矩阵。同理可证明下三角矩阵的情形。
?a11a12?0a22? 2）对可逆的上三角矩阵A?????0?0?a11a12?0a22?对于?A?E??????0?0变换
????a1n??a2n?，aii?0（i?1,2,?,n），???ann?????a1na2n?ann?10?0???01?0? ，先进行第二类初等行
????????00?1?1，再作第三类初等行变换把左边变成单位矩阵时，右边ri（i?1,2,?,n）
aii即为上三角矩阵。亦即可逆的上三角矩阵的逆仍是上三角矩阵。 5. 已知实三阶方阵A满足：1）aij?Aij；2）a33??1 。求A 。
解：因为AA??AE，所以AA??A。由于aij?Aij，从而有A??A??A。于是A?0或A?1。
若A?0，则AA??AA??0，由于A为实三阶方阵，由习题3可得A?0。此与a33??1矛盾。从而A?1。
6. 设A?E?????，其中?是n?1非零矩阵。证明：
1）A2?A的充分必要条件是?????1； 2）当?????1时，A是不可逆矩阵。
证明：1）若A2?A，即有E?(????2)?????E?????。又?是n?1非零矩阵，所以???是n?n非零矩阵，从而?????2?1，即?????1。以上每步可逆，故命题成立。
2）当?????1时，由1），A2?A。若A可逆，则可得A?0，矛盾。故A是不可逆矩阵。
7. 设A，B分别是n?m、m?n矩阵，证明：3EmAB?En?AB?Em?BA 。 EnB?En?AB；En?Em0??Em证明：因为???A?AEn????Em又??AB??Em???En??0B?Em，所以?En?AB?AB??Em0??Em?BAB?Em????，所以AEn???AE0En?n????B?Em?BA。从而命En题成立。
8. A，B如上题，??0。证明：?En?AB??n?m?Em?BA 。
0??Em??Em??证明：由于??0，可得1?A???AE?n??????EmB?????En???0?B??，所以 1En?AB?????EmAB?En?Em0B??m?n?En?AB； 1En?AB???Em又??AB??Em0???Em?BAB??Em????，故AEn???AE0En?n????B??Em?BA。从而En?En?AB??n?m?Em?BA。