?a?b?ca2?b2?c2?22?2???2解：1）?20 ；2）?a?b?c0?b?2ac??4?4?2??3a?b?c???3. 设A是n阶实方阵，且A?A?0。证明A?0。
b2?2ac?222?a?b?c? 。 a?b?c???a11a12?a21a22证明：设A???????an1an2????a1n??a11a21??a2n?a12a22 ，则A??????????ann??a1na2n????an1??an2? 。从而。???ann?2?a121?a2?21???an1?222?a?a???a1222n2A?A??????????????????0 。
????222??a1n?a2n???ann?222222222所以a11?a21???an1?a12?a22???an2?a1n?a2n???ann?0 。因为aij为
实数，故aij?0 （i,j?1,2,?,n）。即A?0 。
?a1???a2?，a,a,?,a互不相同。证明与A可交换的矩阵只4 .设A??n??12???an??能为对角矩阵。
?b11b12?b21b22?证明：设与A可交换的矩阵为B??????bn1bn2?a1b11a1b12?a2b21a2b22 ??????anbn1anbn2????b1n??b2n?，由AB?BA得： ???bnn??anb1n???anb2n?。 ?????anbnn??a1b1n??a1b11a2b12???a2b2n??a1b21a2b22??????????anbnn??a1bn1a2bn2即 aibij?ajbij（i,j?1,2,?,n）。由于a1,a2,?,an互不相同，所以i?j时，
?b110?0b22bij?0。故B???????0bn2?0??0?? 。即B为对角矩阵。 ?????0?5. 证明任一方阵可表示成一对称矩阵和一反对矩阵之和。 证明：设A为方阵，记B?(A?A?)2，C?(A?A?)2，则可知B为对称矩阵，C为反对称矩阵。且A?B?C。
6. 设f(?)?am?m???a1??a0，定义f(A)?amAm???a1A?a0E，其中A?211???是n阶方阵。已知f(?)??2???1，A??312?，计算f(A)。 ?1?10????513???解：f(A)?A2?A?E??803? 。 ??21?2???7. 已知方阵A满足A2?A?7E?0。证明A及A?2E可逆，并求它们的逆矩阵。
证明：由A2?A?7E?0，可得：A(A?E)?7E。所以A可逆，且A?1?(A?E)。7同理由A2?A?7E?0，可得：(A?3E)(A?2E)?E。所以A?2E可逆，且
(A?2E)?1?A?3E。
8. 求下列矩阵的逆阵：
?211??223??13??? ；3）?1?10? ； 1）? ；2）121??????21???121??112??????1111??21?????11?1?121? ；5）?? 。 4）??1?11?1??21?????1?1?112?????1??5解：1）??2??53??3?1?1??1?4?3??5 ；2）1??13?1? ；3）?1?5?3? ； ????4?1???1?13???164???????5??1111??8?42?1????8?42?1?11?1?1?1?? 。 4） ；5）
8?4?4?1?11?1?16?????1?1?118?????422???9. 已知A??120? ，且AB?A?2B，求B。 ??123????010??1??1?121?，解：由AB?A?2B，可得B?(A?2E)A。又(A?2E)???2??1?3?1???120??所以B?(A?2E)?1A???152?? 。 ?2?6?1???10. 设A是n阶方阵，如果对任意n?1矩阵X均有AX?0。证明A?0。
?a11a12?a21a22?证明：记A??????an1an2????a1n??1????a2n?0??，取X?，由AX?0，可得ai1?0
?0??????ann??0?（i?1,2,?,n） 。同理可得aij?0（i,j?1,2,?,n） 。从而A?0 。 11. 已知4阶方阵A的行列式A?5，求A*。
解：因为 AA??AE，两边取行列式有 AA??A。所以 A*?53?125 。
4?A12. 设A，B分别为m，n阶可逆方阵，证明分块矩阵??C证明：因为 A，B可逆，所以 A?0，B?0。故
0? ?可逆，并求逆。
B?A0?AB?0 ，从而CB?A??C0??X11可逆。记??B??X21X12??A?是?CX22??0??A的逆，则??B??C0??X11?B???X21X12???E， X22?AX11?E?X11?A?1???AX12?0?A0?X12?0??于是? ，解得?。故矩阵??的逆为?1?1CB???X21??BCA?CX11?BX21?0?1???CX12?BX22?E?X22?B?A?1??1?1??BCA0??。 ?1B?A??1?1?1?，其中A，C存在，求X。 0??013. 设X???C?0解：因为 ??CA??0C?1??0X??E ，所以????0??A?10??CA??0C?1?? 。 ?的逆为??10?0??A14. 求下列矩阵的秩：
?224114??32?1?3????1?1?302?1??? ； 1）?2?13 ；2）1???121113??705?1?????312?2?1?1???1aa2? 3）?1bb2?1cc2?a3??b3? 。 c3??解：1） 2 。2） 4 。3）当a?b?c时，秩为1；当a,b,c有某两个相等时，秩为2；当a,b,c互不相等时，秩为3 。
提高题
1. 秩为r的矩阵可表示为r个秩为1的矩阵之和。
证明：设矩阵A的秩r，由推论1?结果可知：存在可逆矩阵P和Q使得
?EPAQ??r?00??1?Er，即 A?P??0??00??10??Ir?1?I1 Q?P[???????0??00??00??1其中? ]Q，
0?Ik（k?1,2,?,r）表示第k行k列元素为1、其余元素为0的r阶方阵。记
A?1[??Ik0??1k?P?00? ]Q（k?1,2,?,r）
，则?Ak的秩为1，且A?A1???Ak。 2. 设m?n矩阵A的秩为1，证明：
?a11）A可表示成???????b1?b?n?； ?am??2）A2?kA (k是一个数)。
证明：1）因为A的秩为1，所以存在某元素aij?0。记A的第i行元素为
?b1,?,bn?，则A的任一行向量可由第i行线性表示（否则与i行向量线性无关，
与A的秩为1矛盾）。记a1,?,an依次为第1行、?、第n行的表示系数，则有
?A??a1??????b1?bn? 。
??am???a12）由1）A????????b1?bn?，所以
??am???A2?[?a1???????b?a1???]?(b?a1??1?bn?][????b1?bn?1a1???bnan)????b1???am????am????am???a1? ?k??????b?b?1n? （其中k?b1a1???bnan） 。
?am????1? 设A是n阶方阵，X是n?1矩阵?1?3. ??，证明：
????1?? 1）AX的第i个元素等于A的第i行元素之和；
2）如果A可逆，且A的每一行元素之和等于常数a，则A?1的每一行元素之和也相等。
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