2018年09月08日139****1745的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．解答题（共40小题） 1．
【分析】（Ⅰ）过点B作BM⊥AE于M，过点C作CN⊥ED于N，连接MN，证明BC∥MN即可；
（Ⅱ）以E为原点，ED为x轴，EA为y轴，建立空间直角坐标系E﹣xyz，求出平面CEB的法向量，平面AEB的法向量，计算cos＜，＞即可．
【解答】解：（Ⅰ）证明：过点B作BM⊥AE，垂足为M，过点C作CN⊥ED于N，连接MN，如图所示；
∵平面BAE⊥平面ADE，平面DCE⊥平面ADE，∴BM⊥平面ADE，CN⊥ADE， ∴BM∥CN；
由题意知Rt△ABE≌Rt△DCE， ∴BM=CN，
∴四边形BCNM是平行四边形， ∴BC∥MN；
又BC?平面ADE，MN?平面ADE， ∴BC∥平面ADE；
（Ⅱ）由已知，AE、DE互相垂直，以E为原点，ED为x轴，EA为y轴，建立空间直角坐标系E﹣xyz，如图所示；
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则E（0，0，0），B（0，=（0，
，
），
=（
，），C（
），
，0，），
，0，
设平面CEB的法向量为=（x，y，z）， 则
，
即，
令y=﹣1，则z=1，x=1， ∴=（﹣1，﹣1，1）；
设平面AEB的法向量为=（x，y，z），则易求得=（1，0，0）； 又cos＜，＞=
=
=﹣
，
， ． ，
∴当二面角A﹣BE﹣C的平面角为锐角时，余弦值为当二面角A﹣BE﹣C的平面角为钝角时，余弦值为﹣
【点评】本题考查了空间几何体以及空间向量的应用问题，是中档题． 2．
【分析】（Ⅰ）推导出D1D⊥AF，△ADF≌△DCE，AF⊥DE，由此能证明AF⊥平面D1DE．
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（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点E到平面AFD1的距离．
【解答】证明：（Ⅰ）∵D1D⊥平面ABCD，AF?平面ABCD， ∴D1D⊥AF，
∵点E，F分别是BC，D1C的中点，∴DF=CE， 又∵AD=DC，∠ADF=∠DCE=90°， ∴△ADF≌△DCE，∴∠AFD=∠DEC， 又∵∠CDE+∠DEC=90°， ∴∠CDE+∠AFD=90°，
∴∠DOF=180°﹣（∠CDE+∠AFD）=90°， ∴AF⊥DE，
又∵D1D∩DE=D，∴AF⊥平面D1DE．
解：（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
E（，a，0），A（a，0，0），F（0，，0），D1（0，0，a）， =（﹣，a，0），
=（﹣a，，0），
=（﹣a，0，a），
设平面AFD1的法向量=（x，y，z），
则，取x=1，得=（1，2，1），
∴点E到平面AFD1的距离d=
==．
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【点评】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 3．
【分析】（1）取A1B1的中点D，连结HD、C1D推导出HD⊥A1B1，A1B1⊥C1H，C1H⊥AB1，从而C1H⊥平面AA1B1B，由此能证明平面C1AB1⊥平面AA1B1B． （2）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣BC1﹣A1的余弦值． 【解答】证明：（1）取A1B1的中点D，连结HD、C1D ∵CA=CB，∴C1D⊥A1B1，
∵四边形AA1B1D是正方形，∴HD⊥A1B1，
又HD∩C1D=D，∴A1B1⊥平面C1HD，∴A1B1⊥C1H， ∵C1在线段AB1上的射影为H，∴C1H⊥AB1， ∵AB1∩A1B1=B1，∴C1H⊥平面AA1B1B， ∴平面C1AB1⊥平面AA1B1B． 解：（2）如图建系：由AA1=2
，得A1H=B1H=2，
∴A1（2，0，0），A（0，﹣2，0），B1（0，2，0），B（﹣2，0，0），C1（0，0，），
设C（x，y，z），则
=（x，y，z﹣
），
=（﹣2，﹣2，0），
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由=，得x=﹣2，y=﹣2，z=，∴C（﹣2，﹣2，），
平面BC1A1的法向量=（0，1，0），
=（2，0，
），
=（0，﹣2，
），
平面BC1C的法向量=（x，y，z）， 则
，取x=
，得=（
，﹣
，﹣2），
设二面角C﹣BC1﹣A1的平面角为θ，由图形得θ为钝角， ∴cosθ=﹣
=﹣
，
．
∴二面角C﹣BC1﹣A1的余弦值为﹣
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查线面垂直的性质与判定，面面垂直的判定定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 4．
【分析】（Ⅰ）以C为原点，在平面ABC中过C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CE⊥平面ADF．
（Ⅱ）求出平面ADF的法向量和平面ADE的法向量，利用向量法能求出二面角F﹣AD﹣E的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）以C为原点，在平面ABC中过C作BC的垂线为x轴，CB
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