S?BF1F2?1c2?2c?b?4, e?? ，a2?b2?c2， 2a2?a2?8x2y2??1所以解得所以?2椭圆C的方程为 4分 84 ?b?4（2）假设存在圆心在原点的圆x2?y2?r2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M,N,因为OM?ON?OM?ON，所以有OM?ON?0,
设M(x1,y1),N(x2,y2)，
?y?kx?m?当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为y?kx?m，解方程组?x2y2
?1??4?8得x2?2(kx?m)2?8,即(1?2k2)x2?4kmx?2m2?8?0,
22则△=16k2m2?4(1?2k2)(2m2?8)?8(8k2?m2?4)?0,即8k?m?4?0
x1,2??4km?16k2m2?4(1?2k2)(2m2?8)2(1?2k2)
4km2m2?8?x1?x2??,x1x2?; 6分 221?2k1?2kk2(2m2?8)4k2m2m2?8k22y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?km(x1?x2)?m???m?
1?2k21?2k21?2k2222m2?8m2?8k2??0, 要使OM?ON?0,需x1x2?y1y2?0,即221?2k1?2k22?m?23m?822?0又8k2?m2?4?0,所以?2所以3m?8k?8?0,所以k?, 83m?8?22所以m?82626,即m?或m??,因为直线y?kx?m为圆心在原点的圆的一333条切线,
m2m2826??所以圆的半径为r?,r?,, r?2223m?81?k331?k1?8222所求的圆为x?y?m8, 10分 3此时圆的切线y?kx?m都满足m?2626或m??, 33试卷第11页，总15页
x2y226??1的两个交点 而当切线的斜率不存在时切线为x??与椭圆843为(26262626,?)或(?,?)满足OM?ON?0, 33338满足条件． ． 12分 322综上, 存在圆心在原点的圆x?y?考点：（1）椭圆的方程； （2）直线与椭圆的综合问题． 21．（12分）（2015?郑州二模理） 已知函数f（x）=ax＋ln（x－1），其中a为常数． （Ⅰ）试讨论f （x）的单调区间， （Ⅱ）若a?值范围．
【答案】（Ⅰ）f(x)的单调增区间为(1,1?112lnx?bx时，存在x使得不等式|f(x)|?成立，求b的取
2x1?ee?1?11)，减区间为(1?,??),（Ⅱ） aa2b???2ln(e?1).
e【解析】（1）由已知得函数f(x)的定义域为{x|x?1}
f'(x)?a?1ax?a?1= x?1x?1当a?0时，f'(x)?0在定义域内恒成立，f(x)的单调增区间为(1,??)， 当a?0时，由f'(x)?0得x?1?当x?(1,1?1?1 a11)时，f'(x)?0；当x?(1?,??)时，f'(x)?0 aa11f(x)的单调增区间为(1,1?)，减区间为(1?,??) ． 5分
aa1（2）由（1）知当a?时，f(x)的单调增区间为(1,e)，减区间为(e,??)．
1?ee?ln(e?1)?0 所以f(x)max?f(e)?1?ee?ln(e?1)恒成立，当x?e时取等号． 所以|f(x)|??f(e)?e?11?lnx2lnx?bx令g(x)=，则g'(x)? 7分
2xx2当1?x?e时，g/(x)?0；当x?e时，g/(x)?0 从而g(x)在(1,e)上单调递增，在(e,??)上单调递减
1b? 10分 e212lnx?bx所以，存在x使得不等式|f(x)|?成立
2xe?1?所以，g(x)max?g(e)?试卷第12页，总15页
e1be?ln(e?1)???
e?1e2e?12即：b???2ln(e?1). 12分
e只需
考点：（1）利用导数求函数的单调区间;（2）求参数的取值范围
请考生在第22、23、24题中任选一道作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请用２Ｂ铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 ． 22．（10分）（2015?郑州二模理）选修4-1：几何证明选讲
如图，已知圆O是△ABC的外接圆,AB=BC,AD是BC边上的高,AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．
（Ⅰ）求证：AC·BC=AD·AE; （Ⅱ）若AF=2, CF=22，求AE的长
【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）
414 7【解析】（1）证明：连结BE，由题意知?ABE为直角三角形． 因为?ABE??ADC?90，?AEB??ACB，
0?ABE∽?ADC，
ABAE?所以，即AB?AC?AD?AE． ADAC又AB?BC，
所以AC?BC?AD?AE． 5分
2（2）因为FC是圆O的切线，所以FC?FA?FB，
又AF?2,CF?22，所以BF?4,AB?BF?AF?2，
因为?ACF??FBC，又?CFB??AFC，所以?AFC∽?CFB． 所以
AFACAF?BC??2 ，得AC?FCBCCFcos?ACD?214,?sin?ACD??sin?AEB, 44试卷第13页，总15页
?AE?AB414 10分 ?sin?AEB7考点：（1）三角形相似，（2）切割线定理．
23．（10分）（2015?郑州二模理）选修4-4：坐标系与参数方程
??x?3cos??sin???y?23sin?cos??2sin2??2??在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（为
参数），
若以直角坐标系中的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标
方程为?sin(???4)?2． t（t为参数）
2（Ⅰ）求曲线M和N的直角坐标方程，
（Ⅱ）若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围． 【答案】（Ⅰ）x?y?t,（Ⅱ）?5?t?5 4【解析】（1）由x?3cos??sin?
得x2?(3cos??sin?)2?2cos2??23sin?cos??1， 所以曲线M可化为y?x2?1，x?[?2,2]， 由?sin(???4)?2222?sin???cos??t， t得2222所以?sin???cos??t，所以曲线N可化为x?y?t． 5分
（2）若曲线M，N有公共点，则当直线N过点(2,3)时满足要求，此时t?5，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，
?x?y?t2联立?，得x?x?1?t?0， 2?y?x?1解得t????1?4(1?t)?0，
55，综上可求得t的取值范围是??t?5． 10
44分
考点：将参数方程与极坐标方程转化为直角坐标系下的普通方程解题． 24．（10分）（2015?郑州二模理）选修4-5：不等式选讲 已知函数f（x）=｜3x+2｜ （Ⅰ）解不等式f(x)?4?x?1，
（Ⅱ）已知m+n=1（m,n>0），若|x?a|?f(x)?值范围．
【答案】（Ⅰ）x?(?,)（Ⅱ）0?a?11?(a?0)恒成立，求实数a的取 mn514210 3试卷第14页，总15页
【解析】（Ⅰ）不等式f(x)?4?x?1，即3x?2?x?1?4，
252时，即?3x?2?x?1?4, 解得??x??, 343221当??x?1时，即3x?2?x?1?4, 解得??x?,
332当x??当x?1时，即3x?2?x?1?4,无解，
51421111nm?4， （Ⅱ）??(?)(m?n)?1?1??mnmnmn综上所述x?(?,) ． 5分
2?2x?2?a,x??,?3?2?令g(x)?x?a?f(x)?x?a?3x?2???4x?2?a,??x?a,
3???2x?2?a,x?a??22?x??时，g(x)max??a，要使不等式恒成立，
33210只需g(x)max??a?4即0?a?． 10分
33考点：（1）解绝对值不等式（2）恒成立问题．
试卷第15页，总15页