DVD租赁优化方案（针对试题2005B）
摘 要：在线租赁是信息时代发展的必然趋势。在租赁过程中，网络经营者主要
关注的预测、购买和分配。本文提出了简单随机抽样、分类预测和关联预测等三种方法进行需求预测。针对问题一，利用需求预测得到观看DVD的人数服从二项分布，并计算出多种可靠度下购买DVD 的数量 (见文中表2、表3). 以会员的最大满意度为目标函数，建立一个整数规划模型，得到问题二的分配方案，并计算出前30位会员的分配结果 (见文中表4). 在问题三中，我们考虑到60\\%的会员由于两次租赁而导致可重复利用，因而，采用了两阶段购买的策略，在每个购买阶段都建立了双目标整数规划，从而得到的购买量比原来网站拥有量小，并且会员的满意度达到99.38%(见文中表6、表7). 文章最后还给出了考虑归还DVD周期的情形下购买与分配的模型。
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一、问题的重述
这是一个在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。考虑以下问题：
1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？
2）题中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。
3）假设题中表2DVD的现有数量全部为0。如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？
4）作为网站的经营管理人员，在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出问题，并尝试建立相应的数学模型进行解答。
二、模型假设及符号说明
1、模型的假设
（１）以一个月为一个周期，考虑在一个周期内DVD的租赁情况； （２）一个周期结束，所租赁出的DVD全部归还网站，不影响下一个周期的租赁； （３）一个会员在一个周期内租赁到自己想看的DVD的时间不影响他的满意度； （４）会员只有在将第一次租赁的三张DVD还回网站之后，才能进行第二次租
赁；
（５）每个会员同一种DVD只租赁一次； （６）DVD在租赁过程中无损坏；
2、符号说明
nj 网站第j种DVD的购买量 pj 会员租赁第j种DVD的概率
?ij 第i个会员是否租赁第j种DVD
xij 第i个会员是否租赁到第j种DVD aij 第i会员对第j种DVD的偏爱程度
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bij 第i个会员租赁到第j种DVD的满意度 yij 网站是否为第i个会员购买第j种DVD
三、问题的分析
问题一，要求网站提供的DVD能够满足他的会员至少有50%能够在一个月内看到该DVD，作为网站的经营者，考虑到利益的问题，因此希望购买到尽可能少的DVD 。根据历史数据，60%的会员每月租赁两次，即一部分DVD有一定的流通周期，我们在考虑模型的时候先不考虑时间问题，将DVD全都看作是一月被租赁一次，然后根据流通周期以及它被租赁的概率，将所计算的结果按一定的比例减小。
问题二，这是一个优化分配问题。根据各个会员对不同种DVD的偏爱程度，以及网站是否满足了他的要求，建立以满意度为目标的目标函数，在DVD数量有限的情况下，对其进行合理的分配，使目标函数达到最大值。
我们综合考虑问题一和问题二，在此基础上分析问题三。经营者要尽可能的减小成本，即每种DVD购买量尽可能的少的，同时，DVD的购买量要满足95%的会员在一个月内能够看到自己想看的DVD；要求会员的总体满意程度最大，也就是对确定数量的DVD进行优化分配。此问题为一个双目标规划，即要求各种DVD数目最小的情况下，尽可能的使总体满意度最大。
四、模型的建立及求解
1、问题一模型的建立及求解 设随机变量
?1?ij???0表示第i个会员租赁第j张DVD表示第i个会员不租赁第j张DVD其中i?1,2,,100,000.
显然随机变量?ij服从两点分布，即
P{?ij?1}?pj，P{?ij?0}?1?pj
其中pj的取值见表1.
（1）
网站通过问卷调查，得到1,000位会员愿意观看5种DVD的人数，根据这些统计数据，我们可以得到网站会员租赁这些DVD的概率（频率是概率的近似值）。
表1 会员租赁5种DVD的概率 DVD名称 第i张DVD 被租赁的概率 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 p1?0.2 100,000p2?0.1 p3?0.05 p4?0.025 p5?0.01 设随机变量?j??i?1?ij，j?1,2,,5，即?j表示100,000个会员中租赁第j第 4 页 共 16 页
张DVD的总数，由于?ij（i?1,2,,100,000）之间相对独立，也就是会员之间
是否租赁该张DVD是相互独立的，因而?j服从二项分布，即：
kP{?j?k}?C100,000?(pj)k?(1?pj)100,000?k,j?1,2,,5
（2）
同时可以得到：
E(?j)?100,000pj,j?1,2,,5
（3） （4）
D(?j)?100,000pj?(1?pj),j?1,2,,5
由于租赁的人数是随机的，因而为了满足至少50%的租赁会员看到DVD，网
站应该准备的DVD的数量也是随机的，为此我们以它的数学期望为应该准备的DVD的数量，即：
1E(50%?j)?E(?j)?50,000pj,j?1,2,,5 （5）
2如果以E(50%?j)为该种DVD的准备量，则我们可以得到满足至少50%的人看到该DVD的概率为：
1??P?50%?j?E(?j)?
2??
1??E(?)?E(50%?)jj??50%?j?E(50%?j)2?P???
D(50%?j)D(50%?j)????1??50%??E(?)jj??2?p??0?
D(50%?j)????1??(0)? (6)
2其中约等式是由De Moivre-Laplace中心极限定理得到。
为了提高满足至少50%的人看到该片的可靠度，我们需要改变提供的数量。设可以保证至少50%的人看到该片的可靠度为99%，即?(t)?99%，由此可以得到t?2.33，即:
???50%?j?E(50%?j)?P??2.33??99%
D(50%?j)????
（7）
50%?j?E(50%?j)?2.33?D(50%?j) 第 5 页 共 16 页
1100,000pj?(1?pj) （8） 2同时，由于60%的会员每个月会租赁DVD两次，40%的会员每个月会租赁DVD一次，所以租赁两次的会员会将第一次租赁的DVD归还，这样就可以满足其他会员的租赁要求，但是因为该张DVD是被会员在一个月内第一次租赁，还是被会员在第二次租赁的情况是随机的，所以我们假设上述这两种情况是等可能的，所以该张DVD可以被再次利用的期望值为：
11?60%??0?30% （9） 22由此我们可以得出：只需要准备所需量的70%就可以满足题目中的要求。
综上所述，我们以99%的可靠度满足至少50%的租赁会员能够看到某种DVD所需要准备的该种DVD的数量为：
?50,000pj?2.33?1??70%??50,000pj?2.33?100,000pj?(1?pj)?
2??（10）
代入相关数据，我们可以得到为了保证至少50%的人一个月内看到该DVD，
网站需要准备该DVD的张数（见表2）。
表2 网站为了保证至少50%的人一个月内看到该DVD需要准备的张数 名称 可靠度 张数 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 50% 70% 80% 99% 7,000 7,024 7,038 7,104 3,500 3,518 3,529 3,578 1,750 1,763 1,771 1,807 875 885 890 916 350 356 360 375 为了保证在三个月内使得95%的会员看到其所想要租赁的DVD，只需要提供
1一个月内使得95%的会员看到其想要租赁的DVD总量的，这是因为三个月内
3DVD的流通量相当于一个月内DVD流通了三个周期的量。因而以99％的可靠度使得三个月内95%的人看到该DVD，网站应准备的张数为：
1?70%??100,000?95%?pj?2.33?0.95100,000?pj??1?pj?? （11） ????3代入相关数据，我们可以得到为了保证至少95%的人三个月内看到该DVD，网站需要准备该DVD的张数（见表3）。
表3 网站为了保证至少95%的人三个月内看到该DVD需要准备的张数 名称 可靠度 张数 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 50% 70% 80% 99%
4,434 4,449 4,458 4,499 2,217 2,228 2,235 2,266 1,109 1,117 1,122 1,144 555 560 564 580 222 226 228 238 2、问题二模型的建立及求解：
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