?zj?1100ij?2,i?1,2,,600
??zi?1j?1600100ij?600?95%?3
zij?0或1,i?1,2,,600,j?1,2,
,100 (28)
此模型的解法类似于第一阶段购买方案模型的解法。
综上所述两步，则可以得到网站购买DVD数量的方案为：
600?1000?600?y?z?y??ij??ij?ij?,?i?1i?1?i?1?wj??1000?y,?ij??i?1?z??yiji?1i?1600600ij?z??yiji?1i?1600600
ij (29)
其中j?1,2,,100，wj表示网站购买第j张DVD的数量。
在前面按照百分比（95%及60%）选取会员时，为了便于数学上的处理，我
们选取了1000人中的前950人以及前600人这种处理方法过于简单，但由于这种选取方法的多样性，在数学记号以及计算上都会产生较大的复杂性。因而为了避免这种复杂性以及前面处理方法的简单性，以下我们将用数学期望的办法解决购买方案问题。
设aj为1000名会员中第j张DVD偏爱程度为1，2和3的总人数，其中
j?1,2,,100，则
aj1000为会员租赁第j张DVD偏爱度为1，2和3的频率（概
率的近似值）。因而950人租赁第j张DVD偏爱度为1，2和3人数的均值为：
950?aj1000?aj?95%,j?1,2,100
(30)
用类似的方法，我们也可以得到600人中选取第j张DVD偏爱程度为4，5或6人数的均值。同时计算这600人中选取第j张DVD偏爱程度为1，2或3人数的均值，这个均值表示第j张DVD可以被重复利用，因而在购买时可以从第j张DVD偏爱程度为4，5或6人数的均值中减去这些可以再次利用的数量。这样按照均值的方法，购买DVD的方案见表5（在均值情况下的购买总量为2996张）。
表5 均值方法得到的购买方案 DVD 购买量 DVD1 26 DVD2 34 DVD3 30 DVD4 36 DVD5 26 DVD6 31 DVD7 29 DVD8 31 DVD9 33 DVD10 29 第 12 页 共 16 页
DVD 购买量 DVD 购买量 DVD 购买量 DVD 购买量 DVD 购买量 DVD 购买量 DVD 购买量 DVD 购买量 DVD 购买量 DVD11 29 DVD21 32 DVD31 33 DVD41 48 DVD51 38 DVD61 27 DVD71 34 DVD81 31 DVD91 37 DVD12 29 DVD22 29 DVD32 33 DVD42 35 DVD52 26 DVD62 32 DVD72 32 DVD82 23 DVD92 29 DVD13 27 DVD23 33 DVD33 29 DVD43 30 DVD53 29 DVD63 30 DVD73 23 DVD83 21 DVD93 27 DVD14 29 DVD24 27 DVD34 29 DVD44 33 DVD54 26 DVD64 35 DVD74 29 DVD84 23 DVD94 28 DVD15 26 DVD25 27 DVD35 34 DVD45 38 DVD55 29 DVD65 31 DVD75 27 DVD85 31 DVD95 38 DVD16 35 DVD26 29 DVD36 32 DVD46 27 DVD56 33 DVD66 36 DVD76 24 DVD86 25 DVD96 23 DVD17 33 DVD27 28 DVD37 26 DVD47 29 DVD57 28 DVD67 31 DVD77 26 DVD87 32 DVD97 32 DVD18 29 DVD28 24 DVD38 30 DVD48 27 DVD58 27 DVD68 33 DVD78 30 DVD88 23 DVD98 32 DVD19 30 DVD29 25 DVD39 28 DVD49 29 DVD59 31 DVD69 32 DVD79 29 DVD89 27 DVD99 23 DVD20 35 DVD30 38 DVD40 27 DVD50 32 DVD60 32 DVD70 31 DVD80 29 DVD90 31 DVD100 32
基于上述两种方法，可以得到网站购买DVD的数量，在此基础上，利用问题二中的分配DVD的模型，可以得到相应的分配方案。
对于上述两种购买方案，与原有DVD拥有的数量相比，哪一种方案更好呢？我们从三个方面比较了这三种购买方案的优劣性（见表6）。
表6 第一次订单三种方案优劣性的比较 标准满意度 问题二中的原来拥有量的分配方案 89.13％ 94％ 3007 问题三第一种方法得问题三均值方法得到到购买量的分配方案 购买量的分配方案 99.82％ 100％ 3094 99.38％ 99.6％ 2996 获得3张DVD的比率 购买DVD的总数 从表可以看到，均值方法得到的购买方案在分配过程中，标准满意度、获得三张DVD的比例以及购买DVD的总数都比较好一些。
假设前600个人进行了第二次租赁，表7给出了在三种不同购买量的情形下600人分配的结果比较。
表7 600人第二次订单三种方案优劣性的比较 标准满意度 问题二中的原来拥有量的分配方案 95.76% 61.83％ 3007 问题三第一种方法得问题三均值方法得到到购买量的分配方案 购买量的分配方案 99.31% 100％ 3094 99.7% 99.83％ 2996 获得3张DVD的比率 购买DVD的总数 4、问题四的求解
作为一名网络的经营者，在经营过程中，主要考虑以下几个方面的问题：对
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新出的DVD进行市场需求预测；利用市场预测选取购买方案，最后按在线会员的订单进行合理分配。在这个过程中，我们追求获得最大化收益。因而一方面减少购买DVD所需的成本，另一方面最大化满足各会员的需求。以下将详细描述这个过程的相关模型。
（1）在市场需求预测方面，可以采取多种方法，以便得到较为准确的市场信息。
第一，简单随机抽样。也就是通过网站进行随机问卷调查，由此可以掌握人们对此DVD是否观看的相应概率，并且利用此概率来推测会员的需求信息。
第二，分类预测。由于人们在选看DVD时，人的年龄、知识水平、宗教信仰等都会影响他们的兴趣。因而，我们要将DVD进行分类，同时利用会员信息预测对该DVD感兴趣的人群数量。
第三，关联预测。一个导演会有多部片子，一个演员也会出演很多部片子，他们都会有很多自己的影迷，因而我们可以通过网站以前关于该导演的片子或该演员出演的片子感兴趣的人群预测下一部某导演或某演员的片子的市场需求。
（2）利用市场需求预测的相关信息对购买方案进行指导。一方面减少DVD的购买量，另一方面最大化满足各会员的需求。在这个过程中，除了题目中所考虑的约束问题之外，我们还需要关注DVD的价格，DVD的重复利用率，新加入会员人群的潜在性影响等。
设某张DVD的价格为r，根据第一步的市场需求分析，可以得到该张DVD被可能租赁的概率为p（频率是概率的近似值）。由网站统计的规律可知，每个会员都有60％的可能性借两次，40％的可能性借一次，类似于问题一的分析，只需总量的70％就可以满足要求。
同时，我们也可以通过网站以前的数据得到会员使用DVD的时间（从租到归还）的概率分布律为： ? P 1天 2天 30天 p1 p1 p30 如果会员使用DVD的时间为k天，则这类会员所使用的DVD可以重复利
30用的次数为，因而该DVD在这样的概率分布下，可以重复利用次数的数学期
k望为：
30?pk ?kk?130 (31)
设在线会员人数为n，在一个月内，新加入会员的潜在可能性为?，网站需要考虑满足a%的会员的要求，同时以可靠度为?，使得a%的会员看到想看的DVD，也就是以概率为?可以使得a%的会员看到想看的DVD，则网站应该购买的DVD数量为：
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70%???1???n?p?a%?t?1???n?p??1?p????
3030?pk?kk?130（32）
（3）在分配过程中，可以充分考虑会员在一个月内还回来的DVD的重复利用率，由式（31）可知，每张DVD的可以重复利用的次数为：?30?pk，该kk?1网站拥有第j张DVD的数量为nj，则在分配中，该DVD的数量可以被认定为：
nj??30?pk，其中j?1,2,kk?130,l。综上所述，得如下模型：
lm6max??xijbij11,000i?1j?13030?lx?n??pk,j?1,2,,mj???ijkk?1?i?1
m?s..t?0??xij?3,i?1,2,,lj?1??x取0或1，i?1,2,,l，j?1,2,,m?ij?
（33）
?1,表示第i个会员分到了第j张DVD，bij表示第i个会员对分配到第j张xij???0,表示第i个会员没有分到第j张DVDDVD的满意度。此模型的求解与问题二模型求解类似。
五、结果分析与检验
（1）关于满意度的讨论 分析表格2数据可知，分配结果满足满意程度公式，计算出来的满意程度为94.5%，由于我们考虑的满意程度测量标准选取的是会员对各种DVD的偏爱程度的倒数，它不是一组具有线行关系的量，当会员对一种 DVD 的偏爱程度越大，那相临级别的满意程度相差量越来越小，这样会使最后求出的总的满意程度在意义表达上不是均匀分布的。如果按照偏爱程度1到10，反过来对应10到1表示满意程度，那么所计算出来的满意程度在数值上，也就是在100个单位长度内使均匀分布的。由于前者的随着偏爱程度增大，它的满意程度差别就越来越小，而后者始终使均匀分布，即就是说，同样是数值95%，前者实际的满意程度大于后者的满意程度。
（2）结果合理性
由问题一的检验结果看到，要使95%的会员看到自己想租赁的DVD的可靠度依次增大的时候，网站所需购买的DVD的数目也随着增大，这是符合实际情况的。
问题三我们除了用表中数据的期望值来求解，还随机选取了600个会员的数据作为一组随机变量验证模型的正确性，结果是很满意的。
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六、模型的优缺点
优点： （1）我们建立了一个概率模型，引入了数学期望，较好的解决了会员对DVD需求数量的预测，使模型得到简化，进而能够在计算机上得到满意的解。
（2）对于满意程度的表示，我们采取了将表2中的偏爱程度取倒数，使得会员满意程度的描述有依据，显得比较合理，避免了线性取值带来的较大误差。
（3）本模型在随机分布的基础上，建立关于DVD分配情况的矩阵，以及各会员的针对各种DVD的满意程度矩阵，使得问题的描述比较清晰。
（4）问题三我们采用Excel工作表上作业方式，这样减少数据的导入，导出，并且统计出每种DVD网站需要购买的均值和网站需要购买的最大值，在此基础上进行分配，并且与问题二分配结果进行比较，在三种方案的比较下，我们选取以均值方式购买每种DVD的方案。
缺点：
在进行问题三的求解时，我们仅选取前600位客户作为分析对象，这样虽然避免大的计算量，但是使结果的误差变大。而且，表2所给出的仅仅是一个网站某一次会员订单的数据，由于数据量不够充足，使得我们所求的数学期望就显得有些粗略。在实际中，租赁分配又是一个复杂的数学问题，存在着大量的不确定性，例如：网站会员数目、会员对不同DVD的偏爱程度、会员的租赁时间、租赁的DVD的数目以及还回的时间等等，所以我们的模型就会有一定程度的偏差。
参考文献：
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[6]麻志毅（译），《C语言解析教程》，北京：机械工业出版社，2000年
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