?1,表示第i个会员分到了第j张DVD设xij??，则对会员的分配矩阵为：
?0,表示第i个会员没有分到第j张DVD?x1,1?x1,1A?????x1000,1x1,2x1,1x1000,2x1,100??X1??X?x2,100????2? ??????x1000,100??X1000? （12）
其中Xi为一维行向量，表示对第i个会员的DVD分配情况。
由题目中的表2，我们可以得到会员对DVD的偏爱程度矩阵为：
a1,2a1,100??B1??a1,1?a???aaB1,11,12,1002???? B?? ????????aaaB1000,100??1000??1000,11000,2（13）
其中aij表示第i个会员对第j张DVD的偏爱程度。Bi为一维行向量，表示第i个会员对各类DVD的偏爱程度。
由于aij的数字越大，表示偏爱程度越小，同时会员得到该DVD的满意度越小，因而我们定义第i个会员对分配到第j张DVD的满意度为bij，即
?1?a,bij??ij?0,?aij?0aij?0 （14）
则会员的满意度矩阵为
b1,2?b1,1?bb1,11,1?C????b1000,1b1000,2b1,100??C1??C?b2,100????2? ??????b1000,100??C1000? (15)
其中Ci为一维行向量，表示第i个会员对分配到各类DVD的满意度。因而，第i个会员对分配方案A的满意度为：
Xi?C??xij?bij
Tij?1100 (16)
当第i个会员得到其偏爱程度为1、2和3的3张DVD时，他是最满意的，其
1111满意度为1???，由此可以得到第i个会员的标准化满意度为：
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Xi?C?116Ti?xj?1100ij?bij1166100??xij?bij,i?1,2,11j?1,1000 (17)
为了使所有的会员获得最大的满意度，只要使他们的满意度和达到最大，由此可以得到目标函数为：
10001006maxxij?bij ??11?1000i?1j?1 (18)
在分配的过程中，每种DVD分配给会员的总数不超过网站准备的总数，即：
1000i?1?xij?nj,j?1,2,,100 (19)
在一次分配中，每个会员获得3张DVD；如果不够3张就视为分给该会员0
张DVD，即：
0??xij?3,i?1,2,j?1100,1000
(20)
综合上述分析，可以得到该问题的模型为：
61000100maxxijbij ??11,000i?1j?11000s..t?xi?1ij?nj,j?1,2,,100
0??xij?3,i?1,2,j?1100,1000
xij取0或1，i?1,2,,1000，j?1,2,,100 (21)
根据上述模型，我们使用Lingo软件进行求解，结果如下：
目标函数的最大值为89.13％； 没有得到DVD人数为0； 得到1张DVD人数为6； 得到2张DVD人数为54； 得到3张DVD人数为940；
比率分别为0% , 0.6% , 5.4% , 94% 。
表4 前30位会员获得DVD的情况 用户获得的用户获得的用户获得的客户 分配 第1张DVD 第 2张DVD 第 3张DVD
(该张偏爱度) (该张偏爱度) (该张偏爱度) 名称 C0001 D008（1） D041（7） D098（3） 第 8 页 共 16 页
C0002 C0003 C0004 C0005 C0006 C0007 C0008 C0009 C0010 C0011 C0012 C0013 C0014 C0015 C0016 C0017 C0018 C0019 C0020 C0021 C0022 C0023 C0024 C0025 C0026 C0027 C0028 C0029 C0030 D006（1） D032（4） D007（1） D011（3） D019（1） D008（2） D031（4） D053（1） D055（2） D059（1） D002（2） D021（3） D023（2） D013（1） D055（9） D047（2） D044（1） D066（4） D045（1） D045（2） D038（3） D029（2） D037（4） D009（1） D022（1） D050（4） D008（1） D026（4） D037（2） D044（2） D050（2） D018（2） D066（1） D053（2） D026（3） D035（5） D078（3） D060（1） D063（2） D031（1） D078（2） D052（1） D066（9） D084（1） D051（3） D060（2） D084（1） D061（3） D050（5） D055（2） D081（3） D041（2） D069（2） D068（2） D058（1） D034（2） D030（2） D062（1） D062（4） D080（1） D041（3） D068（2） D066（4） D081（1） D100（2） D085（3） D066（4） D041（7） D096（1） D029（6） D085（3） D097（2） D067（1） D078（3） D086（2） D089（2） D053（1） D057（1） D095（1） D076（1） D081（4） D095（3） D078（7） D055（1） D098（5）
经计算，前30位会员的标准满意度为92.0%，获得3张DVD的比率为93.3%，也就是93.3%的会员能够得到他想看的DVD。
3、问题三模型的建立以及求解： 为了利用题目中表2给出的数据，给出一种合理的购买方案，我们分两次完成购买方案。
第一阶段购买方案：
设Yi?(yi,1,yi,1,买方案矩阵为:
yi,100)表示针对第i个会员的需求所选取的购买方案，则购
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?y1,1?y2,1D?????y1000,1y1,2y2,2y1000,2y1,100??Y1??Y?y2,100????2? ??????y1000,100??Y1000? (22)
?1，表示针对第i个会员购买第j张DVD其中yij??。
?0，表示不为第i个会员购买第j张DVD因为有60%的会员每月会租赁DVD两次，而另外40%的会员每月只租赁一次，因此我们假设一个月会有两次订单，其中题目所给出的表2作为第一次订单，首先利用表2的数据给出第一阶段购买方案。在购买中，保证95%的会员得到他想看的DVD，即95%的会员得到他订单中的3张，同时要使他们的满意度最大，另外网站希望购买的DVD张数越少越好，基于上述要求，我们给出如下模型：
min??yiji?1j?11000100max6yij?bij??11,000i?1j?11000100
100??0??yij?3,i?1,2,,1000j?1??100??yij?1,i?1,2,,1000?j?1??100s.t??yij?2,i?1,2,,1000?j?1?1000100???yij?1000?95%?3?i?1j?1?y取0或1，i?1,2,,1000，j?1,2,?ij?? (23)
,100由上述目标函数及约束条件可以看到，这个整数规划有多个解，这些解是从
1000个人中任取950人，对于950人中的每一个人选取其偏爱程度分别为1，2，3的三张DVD。最后统计一下每张DVD被950人选为偏爱程度为1，2，3的总数，则可得到该张DVD购买的数目。
第二阶段购买方案：
网站为了满足95%的人的需求，根据60%的人本月内的第二次租赁订单，进行第二次购买。题中没有给出60%的人第二次租赁的订单，我们将利用题目中的表2，随机选取600（1000?60%）位会员的在线订单，作为第二次租赁订单。为了便于数学符号上的处理，不失一般性，我们不妨选择1000会员中的前600个会员的订单作为第二次订单。因为这600个会员在第一阶段购买方案中已经满足了他们偏爱程度编号为1，2，3的DVD的需求，所以在第二次订单中他们偏爱程度编号为1，2，3的DVD的需求应记为0（否则，因为目标函数是满意度最大，所以最后得出的还是偏爱程度编号为1，2，3的DVD的需求），则第二次订单中各会员相应的满意度为dij，
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??bij,dij????0,yij?0yij?1 (24)
其中i?1,2,,600，j?1,2,,100，也就是说，如果第i个会员在第一次分配到
第j张DVD时，则在第二次分配中，第i个会员对第j张DVD的满意度为0。
设Zi??Zi,1,Zi,2,,Zi,100?表示根据第二次租赁订单第i个人的需求网站采购
DVD碟片的方案。则第二次购买DVD碟片方案矩阵为：
z1,2z1,100??Z1??z1,1??Z??zzz1,11,12,1002? ???E?? (25) ????????zzzZ600,100??600??600,1600,2在第二次分配中，当第i个会员得到其偏爱程度为4、5和6的3张DVD时，
11137他是最满意的，其满意度为???，由此可以得到第i个会员的标准
45660化满意度为：
?zj?1100ij?dij376060100?zij?dij,i?1,2,?37j?1,600 (26)
为了使所有的会员获得比较大的满意度，只要使他们的满意度和达到最大，
由此可以得到目标函数为：
606001001600100maxzij?dij?maxzij?dij ????37?600i?1j?1370i?1j?1 (27)
网站在第二次确定购买方案时，一方面需要考虑第一步采购时所有的相关问题，同时还需要考虑第一次租赁后还回来的DVD的再次利用，因而可以得到如下模型：
min??ziji?1j?1600100max1001zij?dij??370i?1j?1600100
st. 0??zij?3,i?1,2,j?1,600
?zj?1100ij?1,i?1,2,,600
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