全国第X届研究生数学建模竞赛
题目恒温箱温度变化的数学建模
摘要
恒温箱是航空、汽车、家电、科研等领域必备的测试设备，用于测试和确定电工、电子及其他产品及材料进行高温试验的温度环境变化后的参数及性能。。因此,对温度进行测量和控制也是科学实验和工业生产中经常需要解决的重要问题。随着计算机技术和控制理论的发展,以及对产品质量要求的提高,人们对高精度的温度测量和控制的要求也越来越高。电加热设备温度特性复杂,其温度的测量和控制亦显得尤为重要和复杂。因此，本问题具有很强的研究背景和实际应用价值。
为描述保温箱温度的变化规律，文章首先对环境温度进行三次样条插值，将环境温度的采样间隔变成和恒温箱一样，也就是一分钟。然后根据能量平衡原理和热力学知识列出恒温箱和隔热层从室温开始加热这一阶段的热量平衡方程组，方程组一共有6个未知量，取78个分钟的数据带入方程组中得到156个方程式，用matlab求解这个超定方程组，求得6个未知量的值，也就是恒温箱和隔热层的各项参数值。随后将剩余两个分钟的数据带入求得的方程组中进行检验，误差在接受范围内，说明建模合理。
接下来，将热量平衡代数方程组变为功率平衡微分方程组，在考虑恒温箱控制条件的情况下用龙格库塔法进行求解，得到接下来恒温箱和隔热层的温度变换规律，画出温度变换曲线。最后对恒温箱的性能进行了评价。
关键词：恒温箱隔热层热学平衡方程式超定方程组龙格库塔法
参赛队号
队员姓名陈文哲管俊孙鹏伟
参赛密码 （由组委会填写） XX大学承办
恒温箱温度变化的数学建模
一、问题重述
恒温箱是航空、汽车、家电、科研等领域必备的测试设备，用于测试和确定电工、电子及其他产品及材料进行高温试验的温度环境变化后的参数及性能。。因此,对温度进行测量和控制也是科学实验和工业生产中经常需要解决的重要问题。随着计算机技术和控制理论的发展,以及对产品质量要求的提高,人们对高精度的温度测量和控制的要求也越来越高。电加热设备温度特性复杂,其温度的测量和控制亦显得尤为重要和复杂。因此，本问题具有很强的研究背景和实际应用价值。
模型要求热源即加热器以恒定的速率加热恒温箱。恒温箱体内装有一个自动的温度控制器，在温度高于68.2华氏度会自动关闭加热系统, 在温度低于67.8华氏度时会自动打开加热系统，但温度控制器读取温度有时间间隔，设定温度控制器读取温度有时间间隔为每1分钟1次。
根据上述分析，本文拟解决如下问题：
（1）、根据已有的资料数据，利用所学知识及相关参考资料，通过研究温度传播规律,确定加热方案,并建立恒温箱系统的热数学模型。； （2）、建立恒温箱体的温度变化模型。并根据小型试验数据及相关数学、物理方法，验证模型准确度和适用性；
（3）、对恒温箱产品的质量优劣做出评价；
（4）、对建立的模型进行误差分析，通过模型参数调节优化模型效果，并根据修改模型预测最有效数学模型。根据误差原因分析等对未来需要进行的试验和研究工作提出了一些建议；
（5）、根据相似准则设计相关实验，对已建立模型进行推广和扩充。以达到理论-实验-工程三者的互相验证。
二、基本假设
（1）、环境温度不受热源、恒温箱和隔热层的影响； （2）、忽略空气与恒温箱及隔热层之间的对流换热、热辐射； （3）、所有的导热过程仅考虑稳态导热； （4）、所有物体的物性不随温度变化； （5）、环境温度始终低于67.8华氏度；
（6）、恒温箱体与箱顶隔热层温度始终不低于外界环境温度；
三、符号约定
c1恒温箱比热容 m1恒温箱质量
?Tbox?t时间内恒温箱温度增量
?1恒温箱箱体热导率 Tbox恒温箱某一时刻温度 Tair环境温度
A1恒温箱与外界环境的接触表面积
?1恒温箱体的厚度 Tgere隔热层某时刻温度
A2恒温箱体和隔热层的接触表面积
q热源?t时间内所释放的热量
c2隔热层的比热容 m2隔热层的质量
?Tgere?t时间隔热层温度的增量
?2隔热层的热导率 ?2隔热层的厚度
四、模型的建立与求解
基本理论
（1）热传导
只要有温差,热量就会自发地从高温物体传到低温物体,所以传热是一种最常见的物理过程。实际上,热是一种扩散效应,物体将能量通过热的方式释放出来,因此热其实是能量的传递。热的传递方式主要包括以下三种:热传导、热对流和热辐射。在对恒温箱的数学建模中，我们忽略热对流和热辐射，仅考虑热传导的主要作用。
热传导是指当物体内具有温差或者不同温度的物体相互接触时,在各部分之间没有发生相对宏观位移情况下,通过物质微观粒子(分子、原子或自由电子)的热运动而进行的热量传递。导热是固体内唯一的热量传递方式;在气体和液体中,尽管也同样存在着导热现象。
图2 恒温箱壁面导热示意图
如图所示恒温箱壁，一块厚度为?，横截面积为A的平板，两侧表面分别维持着均匀温度tw1和tw2。实验表明：单位时间内从表面1 传递到表面2的热量Q与壁面间的温差
?t?tw1?tw2以及导热面积A成正比，而与平板的厚度?成反比，即
?方程中的比例系数?反映了材料导热能力的大小，叫做导热系数或者热导率，单位是W(m?K)。导热率是一个物性参数，不同材料的导热率不同，即使是同一种材料，在不同温度下也具有不同的热导率。
为了确保恒温箱内的光谱仪能够安全可靠的工作,我们需要将恒温箱内多余的热量排放到外面，从而保证恒温箱内的光谱仪能够获得适宜的工作温度，这是系统级热设计。
总的来说,恒温箱的热设计可以分为3个主要方面。第一：组件级热设计，即对元器件级的热设计。第二：封装级设计，即对于电子控制模块、散热设备、PCB板的热设计。第三：系统级设计，即对于恒温箱内胆及外壳的热设计。系统级的热设计主要研究电子设备所处环境的温度对其产生的影响，环境温度是系统级热分析的重要边界条件，
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其热设计是采取措施控制环境温度，使电子设备在适宜的温度环境下进行工作。随着电子技术的发展，尤其是微电子技术的发展，电子元器件和设备的尺寸正迅速缩小，而功率却一直在增大，使得单位体积容纳的热量越来越多，特别是在恶劣环境下电子产品以及国防电子仪器要求必须达到良好的电磁兼容性能及三防性能等。
（2）三次样条差值
将环境温度每隔15min采集到的数据利用三次样条差值成每隔1min的数据。 算法原理：
设在区间[a,b]上给定n?1个节点xi(a?x0?x1???xn?b)，在节点xi处的函数值 为yi?f(xi)(i?0,1,?,n)。若函数S(x)满足如下三条：
（1） 在每个子区间[xi?1,xi](i?1,2,?,n)上，S(x)是三次多项式； （2） S(xi)?yi(i?1,2,?,n)；
（3） 在区间[a,b]上，S(x)的二阶导数S''(x)连续。
则称S(x)为函数y?f(x)在区间[a,b]上的三次样条插值函数。 子区间[xi?1,xi](i?1,2,?,n)上的S(x)的表达式为：
S(x)?(x3i?x)M(x?xi?1)3yh2ixi?x6hi?1?Mi?(i?1?6Mi?1)i6hihi2
?(yhix?xi?1i?6Mi)h,xi?1?x?xii关于参数Mi的方程组（三弯矩方程组）：
?iMi?1?2Mi??iMi?1?di,i?1,2,?,n?1??hihi?1ih,?i?hi?xi?xi?1i?hi?1h?1??i,i?hi?1d6i?h(yi?1?yi?yi?yi?1)?6f[xi?1,xi,xi?1]i?hi?1hi?1hi
牛顿插值多项式：
Nn(x)?f[x0]?f[x0,x1](x?x0)?f[x0,x1](x?x0)(x?x1)???f[x0,x1,?,xk](x?x0)(x?x1)?(x?xk?1)??
?f[x0,x1,?,xn](x?x0)(x?x1)?(x?xn?1).构造牛顿插值多项式首先列出差商表，进而由差商表写出牛顿插值多项式。n阶差商为：
f[xx0,x1,?,xn]?f[x0,x1,?,xn?1]0,x1,?,xn]?f[x
n?x0