零阶差商和一阶差商：
f[xi]?yi?f(xi)f[xi,xi?1]?f[xi?1]?f[xi]xi?1?xi
（3）龙格库塔法
算法原理：
考虑用函数f(x,y)在若干点上的函数值的线性组合来构造近似公式，构造时要求近似公式在(xi,yi)处的Taylor展开式与解y(x)在xi处的Taylor展开式的前面几项重合，从而使近似公式达到所需要的阶数。既避免求高阶导数,又提高了计算方法精度的阶数。或者说,在[xi,xi+1]这一步内多计算几个点的斜率值，然后将其进行加权平均作为平均斜率，则可构造出更高精度的计算格式，这就是龙格—库塔（Runge-Kutta）法的基本思想。用类似上述的处理方法，只需在区间[xi,xi+1]上用四个点处的斜率加权平均作为平均斜率K*的近似值，构成一系列四阶龙格—库塔公式。具有四阶精度，即局部截断误差是O(h5)。
对于高阶常微分方程的初值问题：
(m)'''(m?1)?),a?x?b?y?f(x,y,y,y,?,y ?''(m?1)(m?1)(a)?y0,??y(a)?y0,y(a)?y0,?,y将其转化为一阶微分方程组求解：
?y1'?y2?'?y2?y3???? ?'y?ym?m?1?y'?f(x,y,y,?,y)12m?m'(m?1)??y1(a)?y0,y2(a)?y0,?,ym(a)?y0标准的四级四阶龙格—库塔法的向量形式：
1?y?y?(K1?K2?K3?K4)i?i?16??K1?hf(xi,yi)?11? K?hf(x?h,y?K1)?2ii22?11?K?hf(x?h,y?K2)ii?322???K4?hf(xi?h,yi?K3)其分量形式：
1?y?y?(Kj1?Kj2?Kj3?Kj4)i,j?j,i?16??Kj1?hfj(xi;y1i,y2i,?,yni,)?Kn1K11K21h?K?hf(x?;y?,y?,?,y?)j?1,2,?,n ?j2ji1i2ini2222?Kn2K12K22h?K?hf(x?;y?,y?,?,y?)ji1i2ini?j32222?K?hfj(xi?h;y1i?K13,y2i?K23,?,yni?Kn3)??j4
（4）超定方程的最小二乘解
小二乘法广泛地应用于工程计算中，用最小二乘法消除（平滑）误差，用最小二乘法从有噪声的数据中提取信号，从海量数据中找出数据变化的趋势，……。甚至利用简单函数计算复杂函数的近似值，我们并不期望它的近似值多么精确（事实上很多时候也不用很精确），尽管如此还是希望计算出的近似数据与原始数据之间有相似之处。如果从线性代数角度来理解最小二乘法，实际上是将一个高维空间的向量投影到低维子空间所涉及的工作。
超定方程组的最小二乘解
当方程组GX=b的方程数多于未知数个数时，对应的系数矩阵G的行数大于列数，此时方程组被称为是超定方程组。设G=(giu)m×n，当m>n时即所谓的高矩阵，绝大多数情况下，超定方程组没有古典意义下的解。超定方程组的最小二乘解是一种广义解，是指使残差r = b – GX 的2-范数达取极小值的解，即
||b?GX*||2?min||b?GX||2 mX?R超定方程组的最小二乘解是指正规方程组
GTGX=GTb
的解。如果系数矩阵(GTG)可逆，则正规方程组有唯一解。此时，最小二乘解可以形式地写为如下形式
X=(GTG)-1GTb
两种常用的方法如下
1．用对称矩阵的三角分解法解正规方程组GTGX = GTb；记A=GTG，则A是对称矩阵，由三角分解A = L D LT，其中L是下三角矩阵，D是对角矩阵。将这一算法写过三个过程： ①解下三角方程组：LY1 = GTb； ②解对角方程组：DY2 = Y1； ③解上三角方程组：LTY3 = Y2
2．用矩阵的QR分解直接求解超定方程组
由QR分解（正交三角分解）G=QR，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵。将QR分解代入最小二乘解表达式中，得
X=( R T QTQR)-1(QR)Tb = R-1QTb
由此可知，用分解方法求超定方程组的最小二乘解只需求解上三角方程组
RX=QTb
模型1
热源给恒温箱体加热，恒温箱体给箱顶隔热层加热；恒温箱及箱顶隔热层向外界空气散热。此时，恒温箱未达到68.2华氏度，恒温箱体温度高于箱顶隔热层，如图
箱顶隔热层恒温箱体热源图3模型1恒温箱热量传播方向图
模型2
恒温箱达到68.2华氏度后，箱顶隔热层未达到67.8华氏度，热源停止加热；恒温箱体给箱顶隔热层加热，恒温箱及箱顶隔热层向外界空气散热，如图
箱顶隔热层恒温箱体热源图4模型2恒温箱热量传播方向图
模型3
恒温箱及箱顶隔热层温度均高于67.8华氏度，热源停止加热；恒温箱温度低于箱顶隔热层，箱顶隔热层给恒温箱加热；恒温箱及箱顶隔热层向外界空气散热，如图
箱顶隔热层恒温箱体热源图5模型3恒温箱热量传播方向图
模型4
恒温箱体温度低于67.8华氏度后，此时箱顶隔热层温度高于67.8华氏度，热源加热，热源与箱顶隔热层给恒温箱体加热，直到箱顶隔热层与恒温箱体温度相等。
箱顶隔热层恒温箱体热源图6模型4恒温箱热量传播方向图
模型建模
根据已测的环境温度、恒温箱体和箱顶隔热层温度数据，在对每隔15min测量一次的环境温度数据进行三次样条差值后得到每隔1min一个数据，如图7所示。初始时刻，恒温箱体与隔热层温度等于环境温度。此时热源给恒温箱体加热，恒温箱体给箱顶隔热层加热；恒温箱及箱顶隔热层向外界空气散热。这段过程，恒温箱未达到68.2华氏度，恒温箱体温度高于箱顶隔热层。
根据能量守恒，恒温箱体增加的热量与恒温箱对环境空气和箱顶隔热层的散热之和
等于热源提供的热量。
c1m1?Tbox??1(Tbox?Tair)A1?t/?1??1(Tbox?Tgere)A2?t/?1?q?t（1）
恒温箱体对箱顶隔热层的散热等于箱顶隔热层增加的热量与箱顶隔热层对环境空气的散热之和。
c2m2?Tgere??1(Tbox?Tgere)A2?t/?1??2(Tgere?Tair)A2?t/?2（2）
式中各变量含义分别为c1是恒温箱比热容，m1是恒温箱质量，?Tbox是?t时间内恒温箱温度增量，?Tbox是?t时间内恒温箱温度增量，?1是恒温箱箱体热导率，Tbox是恒温箱某一时刻温度，Tair是环境温度，A1是恒温箱与外界环境的接触表面积，?1是恒温箱体的厚度，Tgere是隔热层某时刻温度，A2是恒温箱体和隔热层的接触表面积，q是热源?t时间内所释放的热量，c2是隔热层的比热容，m2是隔热层的质量，?Tgere是?t时间隔热层温度的增量，?2是隔热层的热导率，?2是隔热层的厚度。
将上式进一步简化为
A?t?B?Tbox?C(Tbox?Tair)?t?(Tbox?Tgere)?t（3） D?Tgere?E(Tgere?Tair)?t?(Tbox?Tgere)?t（4）
式中A?q?1cm?Acm???，B?111，C?1，D?221，E?21；?t定为1min ?1A2?1A2?1A2A2?1?2取差值后的80组数据中的前78组数据，求解超定方程中的A、B、C、D、E五个
参数。
A=22.4495 B=63.9245 C=0.0366 D=122.5048 E=0.4669
将能量守恒方程变换为功率守恒方程：
?TBbox?A?(Tbox?Tgere)?C(Tbox?Tair)（5）
?tD?Tgere?t?(Tbox?Tgere)?E(Tgere?Tair)（6）
代入参数值可得：
dT63.9245box?22.4495?1.0366Tbox?Tgere?0.0366Tair（7）
dt