C
7-4 长度相同、承受同样的均布载荷q 作用的梁，有图中所示的4 种支承方式，如果从 梁的强度考虑，请判断哪一种支承方式最合理。 D
7－5 悬臂梁受力及截面尺寸如图所示。图中的尺寸单位为mm。求：梁的1－1 截面上A、
解: C 截面和D 截面上的最大拉应力与最大压应力分别为: C 截面: +3-38-1246
σmax=(30×10N·m×96.4×10m)/(1.02×10×10m)=28.35×10Pa=28.35MPa
3-38-1246
σ-max=(30×10N·m×153.6×10m)/(1.02×10×10m)=45.7×10Pa=45.18MPa D截面:
338-126
σ+max=(40×10N·m×153.6×10-m)/(1.02×10×10m4=60.2×10)Pa=60.2MPa>[σ]
338-126
σ-max=(40×10N·m×96.4×10-m)/(1.02×10×10m4)=37.8×10Pa=37.8MPa 所以,梁的强度不安全。
7-10解: 画弯矩图如图所示。 强度计算 对于梁: Mmax=0.5q σmax=Mmax/W≤[σ], 0.5q/W≤[σ]
21
q≤[σ]W/0.5=160×106×49×10-6/0.5=15.68×103N/m=15.68kN/m
对于杆:
22σmax=FN/A≤[σ],4FB/πd=4×2.25q/(πd)≤[σ]
q≤πd2×[σ]/(4×2.25)=π×(20×10-3)2×160×106/(4×2.25)=22.34×103N/m=22.34kN/m 所以结构的许可载荷为 [q]=15.68kN/m
7-11
Mmax=FP×1m=20×103N×1m=20×103N·m σmax=Mmax/W≤[σ]
W≥FP×1m/[σ]=20×103N·m/(160×106Pa)=0.125×10-3m3=125cm3 所以,选择No.16工字钢。
7-12
没有辅助梁时 σmax=Mmax/W≤[σ] (FPl/4)/W=1.30[σ] 有辅助梁时
σmax=Mmax/W≤[σ]
(FPl/2)(3-2a)/W=[σ]
FPl/2(3-2a)W=FPl/4/(1.30×W)=[σ] 1.30×(3-2a)=0.5 a=1.308m
22
7-13
1.受力分析
起重载荷位于AB梁中点时,梁处于危险状态。这时,梁承受弯曲与轴向压缩的共同作用。
ΣMA=0,-FP×l/2+FBC×lsin30°=0,FBC=FP=22kN AB梁在B点承受的轴向压缩力 FN=FBCcos30°=19052N 2.强度设计
首先按照弯曲强度设计,然后再对弯曲与压缩载荷共同作用时的强度进行校核。 σmax=Mmax/W≤[σ]
W≥FPl/4/[σ]=22×103N×2m/(4×160×106Pa)=110×10-6m3=110cm3 所以,选择No.16工字钢。
No.16工字钢的横截面面积与弯曲截面模量分别为: A=26.1cm2=26.1×10-4m2 W=141cm3=141×10-6m3
再校核弯曲与压缩载荷共同作用时的强度
σA=FN/A+M/W=19052/(26.1×10-4)+(22×103×2)/(4×141×10-6)=7.3×106Pa+78×106Pa=85.3MPa<[σ]
所以,选择No.16工字钢,梁的强度是安全的。
7-14
解:(a)为拉弯组合
σa=FP/(a×3/2×a)+FP·(a/4)/(a(3a/2)2)/6=4/3·FP/a2 (b)为单向拉伸 σb=FP/a2
23
σa/σb=4/3
9－6图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T = 3kN·m。试求： 1．轴横截面上的最大切应力；
2．轴横截面上半径r = 15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比； 3．去掉r = 15mm以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比。 解：1．?1maxMxTT3?103?16?????70.7MPa WPWPπd3π?0.06316Mx2πMxr4 2． Mr? ???dA?????2π?d???A10IpIp4??rMr2πr42πr416r4151???4?16?()4??6.25% ∴ 4Mx4Ip6016πdd4?32MT 3． ?2max?x?
Wpπd3?14??1?()?16?2?习题9-6图
?????2max??1max?1max1()4?12????6.67% 411541??1?()24
9－7 图示芯轴AB与轴套CD的轴线重合，二者在B、C处连成一体；在D处无接触。已知芯轴直径d = 66mm；轴套的外径D = 80mm，壁厚?= 6mm。若二者材料相同，所能承受的最大切应力不得超过60MPa。试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩T。
MT 解：?轴max?x?13?60?106
Wp1πd16π?6636?10?9?3387N·m T1?60?10?16MT2?60?106 ?套max?x?3Wp2πd?684??1?()?16?80?
24
π?80317?? T2?60?10??10?9?1?()4??2883N·m
1620??6 ∴ Tmax?T2?288N3·m?2.88?103N·m
9－8 由同一材料制成的实心和空心圆轴，二者长度和质量均相等。设实心轴半径为R0，空心圆轴的内、外半径分别为R1和R2，且R1/R2 = n，二者所承受的外扭转力偶矩分别为Ts和Th。若二者横截面上的最大切应力相等，试证明：
Ts1?n2 ?Th1?n2 解：由已知长度和质量相等得面积相等：
22 πR0?π(R2?R12)
（1）
（2）
?max?Tsπd316?Ts ?max?3R0π?2Thπ(2R2)3(1?n4)16 由（2）、（3）式
3TsR0 ?3ThR2(1?n4)22 由（1） R0?R2?R12
（3）
（4）
代入（4） ∴
Ts?Th3222(R2?R1)3R2(1?n4)?(1?322n)41?n?(1?2322n)2(1?n)(1?n)?1?n21?n2
9－9 直径d = 25mm的钢轴上焊有两凸台，凸台上套有外径D = 75mm、壁厚?=1.25mm的薄壁管，当杆承受外扭转力遇矩T = 73.6N·m时，将薄壁管与凸台焊在一起，然后再卸去外力偶。假定凸台不变形，薄壁管与轴的材料相同，切变模量G = 40MPa。试：
1．分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力，二者如何平衡？ 2．确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力。 解：设轴受T = 73.6N·m时，相对扭转角为?0 且
d?0T ?dxGIp1（1）
T撤消后，管受相对扭转角?2，则轴受相对扭转角?1??0??2，此时轴、管受扭矩大小相等，方向相反，整个系统平衡。
?1??2??0 （2）
TlMlM?l?x?x GIp1GIp1GIp2（3） （4）
Mx?M?x
25
?0?1?2 ∴ Mx?Ip2Ip1?Ip2T （5） （6）
?hmax? Ip1Tp2MxTTD???? Wp2Ip1?Ip2Wp2Ip1?Ip22πd4π??(25)4?10?12?38349.5?10?12 3232D?2?4?π?754?72.54??1?()??1?()??10?12?393922?10?12m4 ??D32?75??? 将Ip1、Ip2值代入（6）得
7573.6??10?32 管：?hmax??6.38MPa
(38349.5?393922)?10?122573.6??393922?10?3I?TMddp22 轴：?smax?x?????21.86 MPa
Ip12Ip1(Ip1?Ip2)2(38349.5?393922)?38349.5?10?12 Ip2?πD432
26