θk=tanαk-αk (3-2)
其中，BK为线段BK的长度，展角θk为压力角αk的渐开线函数，工程上常用invαk表示θk，即
θk=invαk=tanαk-αk (3-3)
渐开线的极坐标参数方程式为：
（3-4）
r=rbcosαk
invαk=tanαk-αk
用直角坐标来表示渐开线时，其方程式为：
（3-5）
x=rbsinαk-rbαkcosαk
y=rbcosαk-rbαksinαk
图3.1 渐开线
渐开线直齿圆柱齿轮最基本的参数有模数m和齿数z，节圆的直径就等于模数m和齿数z的乘积。所以，一旦模数m和齿数z确定以后，整个齿轮的大小就已经确定下来了。
3.2 渐开线直齿圆柱齿轮参数化建模
11 对渐开线直齿圆柱齿轮进行参数化建模的目的是使设计者在设计过程中方便地使用该模型，只要输入模数、齿数、厚度、齿根圆角半径以及变位系数，就能自动生成设计者所需要的齿轮模型，所以要在这个前提下对渐开线直齿圆柱齿轮进行建模。
设计流程
建模的具体过程如下[11]：
（1）新建一个.prt文件（在ProE中，.prt文件代表零件）。在建立该文件的时候，不同的行业最好使用各自不同的模板，因为在模板中定义了不同的单位、参数和出图格式等，所以在建模之前应先选择合适的模板，以便于后续工作的进行，如同3.1、3.2所示。
图3.1 新建.prt文件
图3.2 模板的选定
（2）进行参数设置，如同3.3所示。参数不用设置太多，只需设置影响齿轮外形的6个参数就可以了。它们分别是齿轮厚度、模数、压力角、齿数、齿根圆角半径以及变位系数。为了方便起见，需要把这些参数设为实数型。此外，还要为这些参数设定一个初始值，如同3.4所示，其中变位系数的初始值最好设为0，因为使用不变位齿轮的机会比较多，对其他参数的初始值并没有具体的要求。具体步骤是：在菜单中选择Set Up(设置)→Parameters（参数）→Creat（创建）。参数关系设置好后，得到如同3.5的新参数。
（3）建模。为了确定渐开线直齿圆柱齿轮的外形尺寸，最好先画出基圆、齿根圆、节圆和齿顶圆。在画这些圆的时候，可以随意定尺寸，只要记下它们的尺寸参数，等到写程序的时候再把它们的尺寸和最初设定的外部参数联系起来就可以，建议把基圆的直径设为模数、齿数和压力角初始值的乘积，以免在以后的建模过程中出现不必要的错误。具体建模过程分别如同3.6 3.7所示。
（4）画出渐开线。在ProE中画渐开线的唯一方法就是通过方程画曲线。具体步骤是：在菜单中选择CRV OPTIONS（曲线选项）→From Equation（从方程），然后选择基准平面（与基圆在同一平面），
12 接着选择坐标系，然后再设置坐标系类型为Cylindrical（柱坐标），最后在弹出的窗口中输入曲线方程如下，如图3.8所示：
r=module×num_teeth×cos(pressure_ang)[2×cos(45×t)]
theta=tan(45×t)×180pi-(45×t)
z=0
插入一个基准平面DTM1，如图3.9所示，通过坐标系原点以及渐开线与节圆交点，并垂直于渐开线所在的平面，然后再插入一个基准轴A-1；通过坐标原点并垂直于渐开线所在的平面，接着再插入一个基准平面DTM2，如图3.10所示，通过基准轴A-1，与基准平面DTM1形成一个夹角（该夹角的尺寸通过程序来确定），使用基准平面DTM2对刚才所画的渐开线进行镜像操作，这样齿槽的形状就确定下来了。
图3.3 参数设置
图3.4 关系设置
图3.5 新参数的生成
图3.6 尺寸切换
图3.7 关系再置
13 图3.8 曲线方程的输入
（5）通过拉伸方式生成齿坯，然后以两条渐开线以及齿顶圆和齿根圆为基准，剪切出齿槽形状，其他齿槽通过阵列的方式产生。由于第一个齿槽生成方式的关系，无法直接进行阵列，所以可先用旋转方式复制一个齿槽，然后再对该齿槽进行阵列（由于刚开始时尺寸不一定准确，所以阵列个数最好尽可能少些）。阵列完以后，这个齿轮就已基本成型了。
在输入程序之前，必须检查每个尺寸的参数。查看尺寸参数的具体步骤是：在菜单中选择Relations（关系）→Show Dim(显示尺寸)，然后再选择你想要检查的尺寸。
（6）输入程序。在菜单中选择Program（程序）→Edit Design（编辑设计），在弹出的窗口中输入程序，如图3.12所示。输完以后，渐开线直齿圆柱齿轮参数化建模的工作就全部完成了。使用者点击菜单中的Regenerate选项，系统会让使用者选择是否要输入参数，输完参数以后，系统就会自动生成使用者想要的渐开线直齿圆柱齿轮，如图3.13所示。
图3.9 插入基准平面DTM1
图3.10 插入基准平面DTM2
图3.11 通过拉升方式生成齿坯
图3.12 程序的输入
图3.13 齿轮模型的生成
14 3.2.2 源程序
以下为ProE的Program模块环境下的源程序：
VERSION
REVNUM 5948
零件GEAR_CYLINDER_VAR的列表：
INPUT
THICK NUMBER
“请输入齿轮厚度”
MODULE NUMBER
“请输入模数”
PRESSURE_ANG NUMBER
“请输入压力角”
NUM_TEETH NUMBER
“请输入齿数”
ROOT_ROUND_RAD NUMBER
“请输入齿根圆角半径”
VAR_COEF NUMBER
“请输入变位系数”
END INPUT
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