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根据图2.3的几何关系写成矩阵形式如下
旋转反变换如下：
?iM??cos??????iT???sin?sin???i????i?cos?????（2-18）
?i???cos??????i???sin??sin???iM????cos???iT?
（2-19）
其中?为M-T坐标和静止???的夹角 2.1.3 异步电机在两相坐标系下的数学模型
上面分析得到了异步电机的动态数学模型，为了矢量控制分析，必须把它转换为M-T旋转坐标系下的数学模型，因此，必须先将三相静止坐标系下的模型转换为???两相静止坐标系下的模型。然后，通过旋转变换将异步电机模型转换到M-T坐标系中，其结果如下所示。 1、异步电机在两相静止坐标系的数学模型
经过3s/2s变换，就得到了三相异步电机在两相静止坐标系下的数学模型。
(1) 电压方程
?us? ??Rs?Lsp0Lmp0??is??
?????i?us?0Rs?Lsp0Lmp??????s?? (2-20) ?u??Lp?rLmRr?Lrp?rLr??ir??mr?????????rLmLmp??rLrRr?Lrp??ir????ur??????（2）磁链方程
??s????s????r????r??Lsis??Lmir??Lsis??Lmir??Lsis??Lmir??Lsis??Lmir?（2-21）
（3）电磁转矩方程
Te?pnLm(is?ir??is?ir?)
（4）运动方程
（2-22）
Te? Tl?（2-23）
pndtJd?r 中国矿业大学2010届本科毕业设计论文 第13页
在 ??? 坐标系中绕组都落在两根相互垂直的轴上，两组绕组间没有耦合，矩阵中所有元素均为常系数，消除了异步电动机在三相静止坐标系上的数学模型中的一个非线性的根源。
2.1.4 异步电机在两相同步旋转坐标系的数学模型
两相旋转坐标系以同步转速旋转，经过3s/2r变换，就得到了异步电机在任意两相同步旋转坐标系上的数学模型: （1) 电压方程
?usm??Rs?Lsp???ust?eLs?????urm??Lmp????urt???sLm??1LsRs?Lsp??sLmLmpLmp?eLmRr?Lrp?sLr??1Lm??ism????iLmp??st???rLr??irm????Rr?Lrp??irt?(2-24)
??式中：1表示定子的同步角频率，s表示转差角频率 （2） 磁链方程
（3） 电磁转矩方程
??sm?Lsism?Lmirm???st?Lsist?Lmirt???rm?Lrirm?Lmism???Li?Lirrtmst?rtTe?pnLm(istirm?ismirt)（2-25）
（2-26）
（4）运动方程
Te?Tl?Jd?rpndt (2-27)
式(2-24)-(2-27)是矢量控制中重要的方程式，接下来的基于转子磁场定向的矢量控制都要依据这些方程式。
2.2 异步电机矢量控制
矢量控制(vector control)理论，是在20世纪70年代初由美国学者和德国学者各自提出的，以后在实践中经过改进，形成了现在普遍采用的矢量控制方法，矢量控制的基本思想是：按照旋转磁场等效的原则，通过一系列的坐标变换(矢量变换)，把定子电流分解成互相垂直的励磁分量和转矩分量，在交流调速系统中，如果能保持励磁分量不变，控制转矩分量，就可以像控制直流电机那样控制交流电机了。它们的诞生使交流变频调速技术大大的迈进了一步，以后，在实际中许多学者进行了大量的工作，经过不断的工作，不断的改进，历经30
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多年的时间，达到了可与直流调速系统相媲美的程度。 2.2.1 矢量控制的原理
【16】
通过前面的分析我们可以发现，异步电机的矢量控制理论【15】，就是以产生同样的旋转
磁动势为准则，在三相坐标系下的定子交流电流iA、iB 、iC 通过3s/2s变换，可以等效成
i两相静止坐标系下的电流i? 、?，再经过同步旋转变换，把电机定子电流分解成互相垂直的励磁电流 iM和转矩电流iT。当观察着站在铁心上，并与坐标系一起旋转时，交流电机便等效成了直流电机。其中，交流电机的转子总磁通?就变成了等效的直流电机的磁通，M绕组相当于直流电机的励磁绕组，iM相当于励磁电流，T绕组相当于伪静止绕组，iT相当于与转矩
r成正比的电枢电流。以上这些等效关系可以用2.4所示的结构图来表示，图中，iA 、iB、iC 为三相交流输入，?r为转速输出。
iAi?
iB i?2s/3s变换iC
图2.4 感应电机的坐标变换结构图
?im矢量旋转变换it等效直流电机模型?r
经过图2.4所示的变换后，异步电机等效成了直流电机，因此，可以模仿直流电机的控制方法来实现对异步电机的控制，先求得直流电机的控制量，再经过相应的坐标反变换，就实现了异步电机的矢量控制。根据等效控制理论，可以构成直接控制统，如图2.5所示。 给定转速信号控制器?r、?r的矢量控制系
?i?*i*m*tiA2s/3s变换**iA电流控制变频器异步电机模型3s/2s变换i?i?VRimit等效直流电机模型iVR?1i?*iBiBiC?riC* 反馈信号??图2.5 矢量控制系统的基本框图
?1从图2.5可以看出，在设计矢量变换控制系统时，我们可以认为反旋转变换 VR 将与电机内部的旋转变换环节相抵消，2s/3s变换与电机内部的3s/2s变换相抵消，如果忽略电流控制变频器中的时间滞后，则图2.5中的控制结构就等效于直流调速系统了。 2.2.2 转子磁场定向矢量控制原理及结构
1971年德国F.Blaschke提出“感应电机磁场定向的控制原理”，是人们首次提出矢量控制的概念，以后在实践中经过不断改进，形成了现在普遍采用的矢量控制系统。矢量控制系统也称为磁场定向控制，即选择电机某一旋转磁场方向作为特定的同步旋转坐标方向。对于异步电机矢量控制系统的磁场定向通常有三种，即转子磁场定向，定子磁场定向，气隙磁场
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定向等，本文采用转子磁场定向控制方法。
通过分析发现，如规定M-T坐标系的M轴沿着转子磁链?r的方向，并称之为磁化轴，T轴垂直于?r，称之为转矩轴。这样M-T坐标系就变成了转子磁场定向坐标系，而 ?r 是以同步转速旋转的矢量。
???r?rt?0因此： rm， 由同步坐标系下异步电机的磁链方程可得： （2-28） ? ?Li?Lirrrmmsm
(2-29) 0?Lrirt?Lmist
对于交流异步电机有：
urm?urt?0 ，电压方程可以转化为以下形式
??eLsLmp??eLm??ism??usm??RS?Lsp
??????i ?eLsRS?Lsp?eLmLmpust??????st? (2-30)
?0??Lmp0Rr?Lrp0??irm? ??????0?sLrRr??irt? ?0???sLm
由式(2-27 )-( 2-29 )可推导下式
Lm (2-31) ?r?ism?rp?1
Lmist ?s?(2-32) ?r?r
式中 ?r?Lr/Rr为转子时间常数。 电磁转矩可以表示为：
Te?npLmLrist?(2-33)
ristism、 式2-30表明，异步电机经过坐标变换，将定子电流解耦分解成 两个直流分量，i?ii转子磁链r仅由定子电流励磁分量 sm产生，与转矩分量st无关。?r与sm之间的传递函
ism突变时，?r的变换要受到励磁惯性的阻扰，这和直流电数是一阶惯性环节，当励磁分量
机励磁绕组的惯性作用是一致的，式子(2-33)中，st是定子电流的转矩分量，当sm不变时
i?Te立即随之成正比的变化。 即r恒定时，如果 st发生变化，转矩
? 因此，M-T坐标系按转子磁场定向以后，在定子电流的两个分量之间实现了解耦，r唯
ii一由 sm决定，st则只影响转矩，同直流电机的励磁电流和电枢电流相对应，这样大大简化了交流变频调速系统的控制问题。
利用((2-27）—（2-33)的公式可将异步电机数学模型描述成图2.6所示的形式
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sin?cos?iAiBiCi?3s/2s变换ismisti?Lm?rp?1?r矢量旋转变换np
LmLr?Te??TlnpJp?r图2.6 异步电机矢量变换和解耦数学模型
从以上分析可知，要使磁场定向控制具有和直流调速系统一样的动态性能，在调速过程中保持转子磁链?r恒定是非常重要的。
根据控制方案中是否进行转子磁链的反馈控制及其观测，磁场定向控制可分为直接磁场定向控制和间接磁场定向控制(又称转差频率控制)。
itpLmLr电流变换转子磁链计算?riABC?r???*r???ASRr?Te?it*ATR*i?i*A*iBTAFBST*e??r*???rVR?12S/3Si?*M3?*iCA?R*im电流滞环型PWM
图2.7 直接型矢量控制方框图
ASR-转速调节器、ATR-转矩调节器、A?R-磁链调节器
图2.7是一个典型的转速、磁链闭环矢量控制系统，包括速度控制环和磁链控制环。速度给定与转速反馈进行比较，经过PI转速调节器，为了提高转速和磁链的闭环控制系统解耦性能，在转速内环增设了转矩内环控制，在图2.7中，转矩内环之所以有助于解耦，是因为磁链对控制对象的影响相当于一种扰动，转矩内环可以抑止这个扰动，从而改造了转速子系
i统，使它少受磁链变化的影响。通过转矩调节器给出了电机负载需要的转矩电流 st ，磁链控制环给出相应的磁链给定，在额定转速以下，磁链幅值保持恒定(恒转矩)，额定转速以上给出相应的弱磁信号(恒功率)，给定磁链与实测或计算的反馈磁链进行比较，再经过磁链PI