【分析】根据约数的概念，经过多次试探，可排出：6、2、1、9、3、7、4、8、10、5、11；还有其他情况．
【解答】解：有以下两种排列方法：
①6、2、1、9、3、7、4、8、10、5、11； ②11、1、2、7、3、8、4、9、5、10、6．
22．一根红色的长线，将它对折，再对折，…，经过m次对折后将所得到的线束从中间剪断，得到一些红色的短线；一根白色的长线，经过n次对折后将所得到的线束从中间剪断，得到一些白色的短线．已知红色短线比白色短线多．m且它们的数量之和是100的倍数．请问：红色短线至少有多少条？
【分析】根据题意我们可以用两种线实际操作演示，通过演示得出一根红色的长线经过m次对折后将所得到的线束从中间剪断得到（2m+1）条短线，一根白色的长线经过n次对折后将所得到的线束从中间剪断得到（2n+1）条短线；再根据m＞n和红色短线的数量与白色短线的数量之和是100的倍数，推出最小值．
【解答】解：我们可以实际操作，通过操作得出一根红色的长线经过m次对折后将所得到的线束从中间剪断得到（2m+1）条短线，一根白色的长线经过n次对折后将所得到的线束从中间剪断得到（2n+1）条短线；
则（2m+1）+（2n+1）=100a（a为正整数）， 2m+2n+2=100a， a=
，
因为（2m+1）有最小值，则m要有最小值， 又因为a为正整数，且m＞n， 则得到：a=1，m+n=49， 那么m=25，n=24． 则2m+1=50+1=51（条）． 答：红色短线至少有51条．
三、解答题（共8小题，满分0分）
23．求出所有正整数n，使得25+n能整除25×n． 【分析】根据题意，可得
是一个整数，因为
=
=25﹣
，它是
一个整数，而且625=125×5=625×1，所以25+n=125，或25+n=625，进而求出n的值即可． 【解答】解：根据题意，可得因为
=
=25﹣
是一个整数，
，它是一个整数，
而且625=125×5=625×1，
所以25+n=125，或25+n=625， 解得n=100，或n=600．
故n=100，或n=600时，25+n能整除25×n．
24．一个自然数至少有4个约数，并且该数等于其最小的4个约数的平方之和，请找出这样的自然数．
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【分析】显然这个数至少有两个质因子．设所含质因子中最小两个为p，q（p＜q），（此数只含有一个质因子P的话，最小四约数为1，p，p，p，其平方和=此数不被p整除．矛盾） 如果p不为2则该数为奇数，约数全奇，四个奇数的平方和为偶数 不等于该数 矛盾．p=2该数为偶数，该数最小四因子为1，2，a，b时，a、b不可同时为偶或者同时为奇，否则平方和为奇数也不等于该数．
分奇偶情况讨论如下：最小四约数可能为1，2，q，2q或1，2，4，q；得出答案即可． 【解答】解：（1）最小四约数可能为1，2，q，2q令n=2kq， 此时2kq=1+4+5q=5（q+1）右边含质因子q 只能q=5， 代入检验有k=13，该数为130；
（2）最小四约数可能为1，2，4，q，其中q为大于4的质数，令n=4kq．
2
此时4kq=q+21得到q|21，只能q=7， 代入检验k无整解．
于是符合要求的只有130．
25．一个四位数的各位数字互不相同，将其千位与个位数字调换后形成新的四位数，新四位数与原数的最大公约数是63，则原四位数可能是多少？
【分析】设M=abcd，N=dbca，则M﹣N=1000a+100b+10c+d﹣（1000d+100b+10c+a）=999a﹣999d=999（a﹣d）；因为M和N的最大公约数是63，所以M与M﹣N的最大公约数也是63，
可得999（a﹣d）是7、9的倍数，所以a﹣d=7，解得
，所以M=9bc2或M=8bc1，
2
2
2
3
M是7、9的倍数，然后分类讨论，求出原四位数可能是多少即可．
【解答】解：设M=abcd，N=dbca，则M﹣N=1000a+100b+10c+d﹣（1000d+100b+10c+a）=999a﹣999d=999（a﹣d）；
因为M和N的最大公约数是63，
所以M与M﹣N的最大公约数也是63， 可得999（a﹣d）是7、9的倍数， 所以a﹣d=7， 解得
，
M=9bc2或M=8bc1，M是7、9的倍数， ①当M=9bc2时， 因为M是9的倍数，
所以9+b+c+2=11+b+c是9的倍数， 因此b+c=7或b+c=16（舍去）， 经验证，9702满足题意， 同理，2709也满足题意； ②当M=8bc1时， 因为M是9的倍数，
所以8+b+c+1=9+b+c是9的倍数， 因此b+c=9或b+c=18（舍去）， 经验证，8631满足题意， 同理，1638也满足题意，
综上，原四位数是9702、2709、8631或1638．
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26．一个不超过200的自然数，如裂川四进制表示，那么它的数字和是5；如果用六进制表示，那么它的数字和是8；如果用八进制表示，那么它的数字和是9．如果用十进制表示，这个数是多少？
【分析】利用如果一个数为n进制数，这个自然数和各个数为上的数字和除以n﹣1的余数相同，换句话说也就是关于n﹣1同余，由此利用同余分析解答即可． 【解答】解：若abc为n进制数，则abc=a+b+c（modn﹣1）， 设这个数为x，
由题意可得x=5（mod3）， x=8（mod5）， x=9（mod7），
则x=23（mod105） x=23或128， 23=113（4进制） 23=35（6进制） 23=27（8进制） 23满足题意．
128=3000（4进制） 128=332（6进制） 128=200（8进制） 符合条件的为23． 答：这个数是23．
27．把一个两位质数写在另一个不同的两位质数右边，得到一个四位数，这个四位数能被这两个质数之和的一半整除．这样的两个质数乘积最大是多少？最小是多少？
【分析】根据题意，设出两个质数，再根据题中的数量关系，列出方程，再根据未知数的取值受限，解答即可．
【解答】解：设a，b是满足题意的质数，根据一个两位质数写在另一个两位质数后面，得到一个四位数，它能被这两个质数之和的一半整除 那么有100a+b=k（a+b）÷2（ k为大于0的整数） 即（200﹣k）a=（k﹣2）b
由于a，b均为质数，所以k﹣2可以整除a，200﹣k可以整除b 那么设k﹣2=ma，200﹣k=mb，（ m为整数） 得到m（a+b）=198 由于a+b可以被2整除 所以m是99的约数
可能是1，3，9，11，33，99
若m=1，a+b=198且为两位数 显然只有99+99 这时a，b不是质数 若m=3，a+b=66 则 a=13 b=53 或a=19 b=47 或a=23 b=43 或a=29 b=37
若m=9，a+b=22 则a=11 b=11（舍去） 其他的m值都不存在满足的a，b
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综上a，b实数对有（13，53）（19，47）（23，43）（29，37）共4对 13×53=689，19×47=893，23×43=989，29×37=1073 所以两个质数乘积最大是：1073 乘积最小是：689
答：这样的两个质数乘积最大是1073，最小是689．
28．用l、2、3、4、5各一个可以组成120个五位数，你能否从这120个数里面找出11个数来，使得它们除以11的余数互不相同？如果五个数字是1、3、4、6、8呢？
【分析】我们看能被11整除的数的特征：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除．这个差是几，那么余数就是几．
【解答】解：设一个五位数是，奇位数字之和与偶位数字用A、B来表示，另A＞B，有≡A﹣B≡k（mod11），其中0≤K≤10． （1）用1、2、3、4、5组成的一个，数字和为A+B=15，因为A+B与A﹣B奇偶数相同，那么用1、2、3、4、5不能 组成余数为0的数，所以不能找到使得他们除以11的余数互不相同．
（2）用1、3、4、6、8组成一个，数字和为A+B=22，因为A+B与A﹣B奇偶相同，那么A﹣B一定为偶数，那些奇数的余数只能出现在A﹣B＞11时，当K=9，那么A﹣B=20不可能出现，所以不能找到使得它们除以11的余数互不相同．
29．用1、2、3、4、5、6这6个数字各一次组成两个三位数A和B．请问：A、B、630这三个数的最大公约数最大可能是多少？最小公倍数最小可能是多少？ 【分析】（1）设（A，B，630）表示A，B和630的最大公约数，设d=（A，B，630），630=2×3×3×5×7，因为1、2、3、4、5、6这六个数字中只有一个是5的倍数，所以d的因数中不可能包含5；又因为是9的倍数的特征是各位上的数字之和是9的倍数，l、2、3、4、5、6这六个数字中只有1、3、5，或2、3、4的和是9的倍数，所以A、B的公约数中不可能包含9，即d的因数中不可能包含9，则d的最大值为：3×7=21，据此解答即可；
（2）当这两个三位数分别是：231、546时，231、546、630这三个数的公约数最大，公倍数最小，进而求出它们的最小公倍数即可． 【解答】解：（1）设（A，B，630）表示A，B和630的最大公约数， 设d=（A，B，630），630=2×2×3×3×3×5，
因为1、2、3、4、5、6这六个数字中只有一个是5的倍数， 所以d的因数中不可能包含5，
又因为是9的倍数的特征是各位上的数字之和是9的倍数，
l、2、3、4、5、6这六个数字中只有1、3、5，或2、3、4的和是9的倍数， 所以A、B的公约数中不可能包含9， 即d的因数中不可能包含9，
则d的最大值为：3×7=21，此时这两个三位数分别是：231、546， 即A、B、630这三个数的最大公约数最大可能是21．
（2）当这两个三位数分别是：231、546时，
231、546、630这三个数的公约数最大，公倍数最小， 因为231=21×11，546=21×2×13，630=21×2×3×5， 所以231、546、630这三个数的最小公倍数是：
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21×11×2×13×3×5=90090．
30．我们将具有如下性质的自然数K称为“巨人数”：如果一个整数M能被K整除，则把M的各位数字按相反顺序重写时所得的数也能被K整除，请求出100以内的所有的“巨人数”． 【分析】能被1、3、9、11、33、99整除的数，各位数字按相反顺序重写时所得的数也能被1、3、9、11、33、99整除，由此写出答案即可．
【解答】解：符合条件的数有1，3，9，11，33，99都是“巨人数”．
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