【命题方向】 常考题型：
例1：有两个二位数，它们的最大公约数8，最小公倍数是96，这两个数的和是（ ） A、56 B、78 C、84 D、96
分析：把最大公约数8和最小公倍数96分解质因数，根据最大公约数是两个数的共有质因数，最小公倍数是两个数的共有质因数与独有质因数的乘积，可以判断出这两个数可能是什么，即可得解． 解：8=2×2×2， 96=2×2×2×2×2×3，
所以这两个最大公约数8，最小公倍数是96的二位数只能是2×2×2×2×2=32和2×2×2×3=24； 这两个二位数的和是：32+24=56； 故选：A．
点评：利用求解最大公约数和最小公倍数的方法，凑数逆向求解出两个二位数，观察选项，即可得解．
经典题型：
例2：沿小路一边从头开始插彩旗，每隔4米插一面，插到另外一端共插了37面彩旗．如果改成每隔6米插一面彩旗，可以有（ ）面彩旗不用移动．
A、12 B、13 C、14 D、15
分析：根据题意明白路头栽一棵除去，再利用间隔米数×彩旗面数=路的总长度；再求出4和6的最小公倍数，在算一算路的总长里有多少个这样的最小公倍数；就有多少颗公栽的树，最后加上开始那颗．
解：4和6的最小公倍数是12， 路长：4×（37﹣1）=144（米）， 公栽棵树：144÷12=12（棵）， 12+1=13（棵），
答：可以有13面彩旗不用移动． 故选：B．
点评：此题不是多难，关键别忘了路两头都栽树，开始那棵不占路长，再明白路长一定，间距再变，棵树也在变，得有公有的及要用到求最小公倍数，根据题意完成即可．
【解题方法点拨】
（1）两个数如果存在着倍数关系，那么较小的数就是其最大公约数，较大的数就是其最小公倍数．
（2）互质的两个数的最大公约数是1，最小公倍数是它们的乘积．
（3）利用短除法求取三个数的最大公约数和最小公倍数时要注意二者的区别：求取三个数的最大公约数时，只需短除到三个数没有共同的因数（除l外）即可；而求取三个数的最小公倍数时，需要短除到三个数两两互质为止．
（4）多于三个数的最大公约数与最小公倍数的求法与三个数的求法相似．
6．位值原则 【知识点归纳】
1．位置原则：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同．也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”．例如“5”，写在个位上，就表示5
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个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百；等等．这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原则．
2．通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”．就是说，每10个某一单位就组成和它相邻的较高的一个单位，即10个一，叫做“十”，10个十叫做“百”，10个百叫做“千”，等等．写数时，从右端起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等．
3．用阿拉伯数字和位值原则，可以表示出一切整数．例如，926表示9个百，2个十，6个一，即926=9×100+2×10+6．根据问题的需要，有时我们也用字母代替阿拉伯数字表示数．
【命题方向】 经典题型：
例1：个两位数其十位上的数字与个位上的数字交换以后，所得到的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有（ ）
A、3 B、4 C、5 D、6
分析：设：原两位数的十位数为x，个位数为y，则原两位数值为（10x+y），交换后两位数的个位数为x，十位数为y，数值为（10y+x），x．y为小于10的正整数．因为交换后的两位数比原来小27，所以：（10x+y）﹣（10y+x）=27，进而得出x﹣y=3．然后对x、y进行取值，解决问题．
解：设原两位数的十位数为x，个位数为y，由题意得： （10x+y）﹣（10y+x）=27 10x+y﹣10y﹣x=27 9x﹣9y=27 x﹣y=3， 则x﹣3=y，y+3=x，
因为x．y为小于10的正整数，
所以x=9，8，7，6，5，4；y=6，5，4，3，2，1 所以10x+y=96，85，74，63，52，41共有6个． 答：满足条件的两位数共有6个． 故选：D．
点评：对于位置原则问题，一般采取设未知数的方法，推出关系式，进行取值，解决问题．
例2：表示一个三位数，=100a=10b=c，那么++是（ ）的倍数． A、321 B、111 C、101 D、121 分析：根据位值原则，把计算得出．
+
+
表示为（100a+10b+c）+（100b+10c+a）+（100c+10a+b），
解：++，
=（100a+10b+c）+（100b+10c+a）+（100c+10a+b）， =111（a+b+c）； 故选：B．
点评：此题考查了学生用字母表示数以及对位值原则问题的解答能力．
【解题方法点拨】
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通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”，就是说，每10个某一单位就组成和它相邻的较高的一个单位，即10个一，叫做“十”，10个十叫做“百”，10个百叫做“千”，等等．写数时，从右端起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等．
7．数的整除特征 【知识点归纳】
整除是整数问题中一个重要的基本概念．如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，记作b丨a．此时，b是a的一个因数（约数），a是b的倍数 数的整除特征
（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除． （2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除． （3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除．
（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除．
（5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除．
（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除．
【命题方向】 经典题型：
例1：下列4个数都是六位数，A是大于0小于10的自然数，B是0，一定能同时被2、3、5整除的数是（ ）
A、AAABAA B、ABABAB C、ABBABB D、ABBABA 分析：这个六数个位上的数字是0，能被2和5整除，不管A是比10小的哪个自然数，A+A+A的和一定是3的倍数，所以ABABAB一定能被3整除 解：B=0，
ABABAB能被2和5整除， A+A+A的和一定是3的倍数， ABABAB也一定能被3整除， 故选：B．
点评：此题主要考查能被2、3、5整除的数的特征：一个数个位上是0或5，这个数就能被5整除；个位是0、2、4、6、8的数能倍2整除；一个数各数位上的数字之和是3的倍数，这个数就能被3整除．
常考题型：
例2：有一个四位数3AA1能被9整除，A是 7 ．
分析：已知四位数3AA1能被9整除，那么它的数字和（3+A+A+1）一定是9的倍数然后再根据题意进一步解答即可．因为A是一个数字，只能是0、1、2、3、…、9中的某一个整数，最大值只能是9．若A=9，那么3+A+A+1=22，22＜27，所以3AA1的各位数字和只能是9的1倍或2倍，即9或18．
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解：根据题意可得：
四位数3AA1，它能被9整除，那么它的数字和（3+A+A+1）一定是9的倍数；
因为A是一个数字，只能是0、1、2、3、…、9中的某一个整数，最大值只能是9；若A=9，那么3+A+A+1=3+9+9+1=22，22＜27，所以，3AA1的各位数字和只能是9的1倍或2倍，即9或18；
当3+A+A+1=9时，A=2.5，不合题意； 当3+A+A+1=18时，A=7，符合题意； 所以，A代表7，这个四位数是3771． 答：A是7， 故答案为：7．
点评：本题主要考查能被9整除数的特征，即一个数能被9整除，那么这个数的数字和一定是9的倍数，然后在进一步解答即可．
8．整除性质 【知识点归纳】 整除的性质
性质1 如果a和b都能被m整除，那么a+b，a﹣b也都能被m整除（这里设a＞b）． 例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（18﹣12）． 性质2 如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除． 例如：3丨6，6丨24，那么3丨24．
性质3 如果a能同时被m、n整除，那么a也一定能被m和n的最小公倍数整除． 例如：6丨36，9丨26，6和9的最小公倍数是18，18丨36． 如果两个整数的最大公约数是1，那么它们称为互质的． 例如：7与50是互质的，18与91是互质的．
性质4 整数a，能分别被b和c整除，如果b与c互质，那么a能被b×c整除． 例如：72能分别被3和4整除，由3与4互质，72能被3与4的乘积12整除．
性质4中，“两数互质”这一条件是必不可少的.72分别能被6和8整除，但不能被乘积48整除，这就是因为6与8不互质，6与8的最大公约数是2．
性质4可以说是性质3的特殊情形．因为b与c互质，它们的最小公倍数是b×c． 事实上，根据性质4，我们常常运用如下解题思路：
要使a被b×c整除，如果b与c互质，就可以分别考虑，a被b整除与a被c整除．
能被2，3，4，5，8，9，11整除的数都是有特征的，我们可以通过下面讲到的一些特征来判断许多数的整除问题．
【命题方向】 常考题型：
例1：一个数除以9余8，除以6余5，这个数加上1就能被5整除，则符合条件的最小自然数是 89 ．
分析：由题意可得：该数加上1，可以被9，6，5整除，即求三个数的最小公倍数减1；三个数的最小公倍数是3×3×2×5=90，所以最小是90﹣1=89． 解：3×3×2×5﹣1=89； 故答案为：89．
点评：解答此题的关键是要明确：该数加上1，可以被9，6，5整除，即求三个数的最小公倍数减1即可．
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经典题型： 例2：从1到2010这2010个正整数中，能被8整除，且不能被9整除的正整数有 224 个． 分析：先求出能被8整除的数的整数个数，所有8的倍数，去掉72的倍数即是8的倍数又是9的倍数，即可求出是能被8整除，且不能被9整除的正整数个数： 1至2010这些整数，是能被8整除数的共有251个．2010÷8=251…4， 又是8的倍数又是9的倍数那么就是72的倍数．2010÷72=27…66， 251﹣27=224个
解：2010÷8=251…4，
所以1至2010这些整数，是能被8整除数的共有251个， 2010÷72=27…66，
能被72整除数的共有27个，
所以能被8整除，且不能被9整除的正整数个数有251﹣27=224（个）， 故答案为：224
点评：解决此题关键是先求出能被8整除的数的个数，能被72整除的数的个数，进一步得解．
9．约数个数与约数和定理 【知识点归纳】
约数个数与约数和定理
设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×…×pk 那么： n的约数个数公式：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（ak+1）
012a1012a2012ak
n的所有约数和：f（n）=（p1+p1+p1+…p1）（p2+p2+p2+…p2）…（pk+pk+pk+…pk）
【命题方向】 经典题型：
例1：105可以分解成105=3×5×7，它的约数共有（ ）
A、4个 B、6个 C、8个 D、10个 分析：根据求一个数约数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数，即（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个，然后解答可得出答案． 解：105=3×5×7，
共有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8（个）约数， 答：它的约数共有8个． 故选：C．
αβγ
点评：此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a=p×q×r（其中a为合数，p、q、r是质数），则a的约数共有（α+1）（β+1）（γ+1）个约数．
例2：恰有20个因数的最小自然数是（ ）
A、120 B、240 C、360 D、432
分析：首先把20拆成几个数的乘积，利用求约数个数的方法，从最小的质因数2考虑，依次增大，找出问题的答案即可． 解：20=20=2×10=4×5=2×2×5；
四种情况下的最小自然数分别为：2、2×3、2×3、2×3×5，其中最小的是最后一个4
2×3×5=240．
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19
9
4
3
4