2、 基差（现货价格－期货价格）出人意料地增大，会对利用期货合约空头进行套期保值的
投资者不利。(错误) 3、 在货币互换开始时，本金的流动方向通常是和利息的流动方向相反的，而在互换结束时，
两者的流动方向则是相同的。(正确)
4、 如果从动态的角度来考察，那么当无风险利率越低时，看跌期权的价格就越高。(错误) 5、 期权时间价值的大小受到期权有效期长短、标的资产价格波动率和内在价值这三个因素
的共同影响。(正确)
6、 当标的资产价格超过期权协议价格时，我们把这种期权称为实值期权。(正确)
7、 有收益资产美式看跌期权价格可以通过布莱克－舒尔斯期权定价公式直接求得。(错误) 8、 假定证券价格服从几何布朗运动，那么意味着证券价格的对数收益率遵循普通布朗运
动。(正确)
9、 标准布朗运动定义为随机扰动项与根号时间长度的乘积，而非随机扰动项与时间长度本
身的乘积，这是因为期望值和方差具有可加性，而标准差不具有可加性。(正确) 10、 宽跨式组合（Strangle）由相同到期日但协议价格不同的一份看涨期权和一份看跌
期权构成，其中看涨期权的协议价格低于看跌期权的协议价格。(错误)
11、当标的资产价格远远高于期权执行价格时，应该提前执行美式看涨期权。(错误) 12、欧式看跌期权和美式看跌期权的价格上限是相同的，都为期权执行价格。(错误)
13、从比较静态的角度来考察，如果无风险利率越低，那么看跌期权的价格就越高。(正确) 14、有收益美式看跌期权的内在价值为期权执行价格与标的资产派发的现金收益的现值及标的资产市价之间的差额。(错误)
15、期权交易同期货交易一样，买卖双方都需要交纳保证金。(错误) 16、期货合约的到期时间几乎总是长于远期合约。(错误)
17、当标的资产价格与利率呈负相关性时，远期价格就会高于期货价格。(正确) 18、只能通过数值方法求得有收益资产美式看跌期权的价格。(正确)
19、如果股票价格的变化遵循伊藤过程，那么基于该股票的期权价格的变化遵循维纳过程。(错误)
20、看跌期权的反向差期组合是由一份看跌期权多头与一份期限较短的看跌期权多头所组成。(错误)
21. 从持有成本的观点来看，在远期和期货的定价中，标的资产保存成本越高，远期或期货
价格越低。(错误)
22. 一个计划在6个月后进行国债投资的基金经理可以通过卖空国债期货进行套期保值。(错
误) 23. 股票价格服从几何布朗运动意味着
?S服从正态分布。(错误) S24. 利率平价关系表明，若外汇的利率大于本国利率，则该外汇的远期和期货汇率应小于现
货汇率；若外汇的利率小于本国的利率，则该外汇的远期和期货汇率应大于现货汇率。(正确)
25. 在风险中性世界中，期货的漂移率为零。(正确)
26. 在货币互换中，支付高利率货币的投资者所面临的可能损失较小。(错误)
27. 相对而言，条式（Strip）组合更有利于价格大幅上升的情形而带式组合（Strap）有利于
价格大幅下跌的情形。(错误)
28. 平价期权的时间价值最大，深度实值和深度虚值期权的时间价值最小。(正确) 29. N?d2???c，就是在构建期权的套期保值组合时标的资产的投资数量。(错误) ?S 6
30. 风险中性定价原理只是我们进行证券定价时提出的一个假设条件，但是基于这一思想计
算得到的所有证券的价格都符合现实世界。(错误)
三、 计算题
1、某无红利支付股票的欧式期权执行价格为29美元，股票现价为30美元，无风险年利率为5%，股票年波动率为25%，期权到期日为4个月。（1）如果该期权为欧式看涨期权，计算其价格；（2）如果该期权为欧式看跌期权，计算其价格；（3）验证看涨看跌期权平价关系是否成立。
解答：在本题中，S0?30,K?29,r?0.05,??0.25,T?0.3333
所以：
ln(30/29)?(0.05?0.252/2)0.3333d1??0.42250.250.3333
2ln(30/29)?(0.05?0.25/2)0.3333d2??0.27820.250.3333N(0.4225)?0.6637,N(0.2782)?0.6096
N(?0.4225)?0.3363,N(?0.2782)?0.3904因此：
（1）欧式看涨期权的价格为：30?0.6637?29e（2）欧式看跌期权的价格为：29e?0.05?0.3333?0.05?0.3333?0.6096?2.52
?0.3094?30?0.3363?1.05
（3）欧式看涨看跌期权平价关系为：p?S0?c?Ke?r(T?t)
将c?2.52,S0?30,K?29,p?1.05,e?r(T?t)?0.9835带入上式，可以发现计算出的欧式看涨看跌期权的价格满足欧式看涨看跌期权平价关系。
2、一家金融机构与A公司签订了一份5年期的利率互换协议，收取10%的固定年利率，支付6个月期的LIBOR，本金为$10,000,000，每6个月支付一次。假设A公司未能进行第六次支付（即在第3年末违约），当时的利率期限结构是平坦的，都为8%（按半年计一次复利计），而第3年年中的6个月期的LIBOR为年利率9%。请问，该金融机构的损失是多少？（15分） 解答：
解法一：
V?Bfix?Bfl?0.5?解法二：
0.50.50.510.5????10.45?0.413百万美元
1?4%?1?4%?2?1?4%?3?1?4%?4V?S3?S3.5?S4?S4.5?S5?0.05?0.10.10.10.1????0.413百万美元 234?1?4%??1?4%??1?4%??1?4%? 7
3、假设无风险利率是常数r，股票价格满足dS?uSdt??Sdz，以该股票为标的的期货的理论价格为F，假设股票不支付红利，试证明：dF??u?r?Fdt??Fdz。（15分） 解答：
2?F?Fr?T?t??Fr?T?t??e,?0,??rSer?T?t??S2?t证明：因为F?Se，?S，
根据Ito引理，有
r?T?t?r?T?t??dt?er?T?t??SdzdF??euS?rSe??，
所以
dF??u?r?Fdt??Fdz。
4、请运用无套利方法推导Black-Scholes微分方程（10分）。并回答下列问题
（1）Black-scholes股票期权定价模型中对股票价格随机过程的假设是什么？（2分） （2）Black-scholes股票期权定价模型中对股票价格概率分布的假设是什么？（2分）
（3）若一股票价格的波动率为每年30％，则在一个交易日内其相应的价格变化的标准差是多少？（假设一年有250个交易日）（2分）
（4） 简要阐述Black-Scholes微分方程中所蕴涵的风险中性定价思想。（4分） 解答：
（1）证明：
假设证券价格S遵循几何布朗运动，因此有：dS??Sdt??Sdz 其在一个小的时间间隔?t中，S的变化值?S为：?S??S?t??S?z
假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S和t的函数，从Ito引理可得：
?f?f1?2f22?fdf?(?S???S)dt??Sdz?S?t2?S2?S
在一个小的时间间隔?t中，f的变化值?f为：
?f?f1?2f22?f?f?(?S???S)?t??S?z?S?t2?S2?S
?f构建一个包括一单位衍生证券空头和?S单位标的证券多头的组合。令?代表该投资组
???f?合的价值，则：
?fS?x。在?t时间后，该投资组合的价值变化??为：
?f1?2f22?f???(???S)?t?????f??S2?t2?S?S，可得：
8
由于不含有?z，该组合的价值在一个小时间间隔?t后必定没有风险，因此该组合在?t中的瞬时收益率一定等于?t中的无风险收益率。否则的话，套利者就可以通过套利获得无风险收益率。因此，在没有套利机会的条件下：???r??t
?f1?2f22?f(??S)?t?r(f?S)?t2?S从而：?t2?S ?f?f122?2f?rS??S?rf2?t2?S?S化简为：
这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程，它适用于其价格取决于标的证券价格S的
所有衍生证券的定价。
（2）股票价格服从几何布朗运动和对数正态分布。 （3）标准差是??t?0.30.004?0.019。
（4）从BS方程中我们可以看到，衍生证券的价值决定公式中出现的变量均为客观变量，独立于主观变量——风险收益偏好。而受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。因而在为衍生证券定价时，我们可以作出一个可以大大简化我们工作的简单假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。在所有投资者都是风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r，这是因为风险中性的投资者并不需要额外的收益来吸引他们承担风险。同样，在风险中性条件下，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价原理。
5、假设一个不支付红利的股票预期收益率为?，波动率为?，其价格表示为S。现有另一种证券，该证券承诺在其到期时刻T，投资者将获得lnST的payoff。（15分） （1）请用风险中性定价原理为该证券定价。
（2）证明这一价格符合Black-Scholes微分方程。 解答：
f?e?r?T?t????2??r?T?t???E?lnST??eT?t???lnS??r?? ?2??????r?T?t???2???2??f?2??r?T?t???r?T?t???re?lnS??r???T?t???e?r???rf?e?r?? ?t222?????????f1?r?T?t? ?e?SS?2f1?rT?t??2e?? 2?SS?f?f122?2f?2?r?T?t????rS??S?rf?e?r??t22?S?S2??1?r?T?t??rT?t??2e???rf ?＋re2?6、假设x是在T时刻支付1美元的贴现债券按连续复利计息的到期收益率。假设x遵循如
9
下过程：dx??(x0?x)dt?sxdz，其中?、x0和s是正常数，dz是维纳过程。那么此债券的价格运动遵循何种过程？（提示：运用Ito引理）（15分） 解答：
假设债券价格为B，由Ito引理可得，债券价格遵循的过程为：
??B?B1?2B??B dB???(x0?x)??dt?sxdz 2??x?t2?x?x??因为：B?1?e所以：
?x(T?t)?e?x(T?t)
?B?xe?x(T?t)?xB ?t?B??(T?t)e?x(T?t)??(T?t)B ?x?2B?x(T?t)?(T?t)2e?(T? 2?xt)2 B因此，代入得，债券价格遵循的过程为：
1??dB????(x0?x)(T?t)?x?s2x2(T?t)2?Bdt?sx(T?t)Bdz
2??7、股票价格为50美元，无风险年利率为10%，一个基于这个股票、执行价格都为40美元
的欧式看涨和欧式看跌期权价格相差7美元，都将于6个月后到期。这其中是否存在套利机会？如果有，应该如何进行套利？ 解答：
由于S?Xe?r?T?t??50?40*e?10%*0.5?11.95?C?P?7，因而存在套利机会。套利
方法为：卖空股票，买入看涨期权，卖出看跌期权，将所有现金p?S0?c?43投资于无风险利率，到期无论价格如何，都需要用40元执行价格买入股票，对冲股票空头头寸，从而获得43e10%*0.5?40?5.20的无风险利润。
8、某股票预计在2个月和5个月后每股分别派发1元股息，该股票目前市价等于30，所有期限的无风险连续复利年利率均为6%，某投资者刚取得该股票6个月期的远期合约空头，请问：?该远期价格等于多少？若交割价格等于远期价格，则远期合约的初始价值等于多少？?3个月后，该股票价格涨到35元，无风险利率仍为6%，此时远期价格和该合约空头价值等于多少？ 解答：
?
F??S?I?er?T?t?151?6%*?6%*?6%*?6122??30?1*e?1*e?28.89?e ??
f?0
10
F??S?I?e
?
r?T?t?21?6%*?6%*???35?1*e12?e4?34.52??
?6%*14f??(S?I?Ke
?r?T?t?)??(35?1*e2?6%*12?28.89*e)??5.55
假设某投资公司有$20,000,000的股票组合，他想运用标准普尔500指数期货合约来套期保值，假设目前指数为1080。股票组合价格波动的月标准差为1.8，标准普尔500指数期货价格波动的月标准差为0.9，两者间的相关系数为0.6。问如何进行套期保值操作？
答：最优套期保值比率为n=ρHGσ△H/σ△G=0.6*1.8/0.9=1.2，应持有的标准普尔
500指数期货合约空头的份数为：1.2*20000000/250*1080=89份。
试说明无套利定价原理、风险中性定价原理和状态价格定价法的基本思想，并讨论三者之间的内在联系。 无套利定价原理：套利是里利用一个或多个市场存在的价格差异，在没有任何损失和风险且无需自由资金的情况下获取利益的行为。 风险中定价原理：在衍生证券定价存在一个重要特殊的原理。指在对衍生证券进行定价时可以作出一个有助于简化工作的简单假设所有投资者对于标的资产所蕴含的价格风险的态度都是中性的，既不偏好也不厌恶，在此条件下，所有证券的语气收益率都等于无风险利率。同样在风险中性的条件下，所有现金流都应该使用无风险利率进行贴现球的价值。
状态价格定价法：指在特定的状态发生时回报为1，否则为0的资产在当前的价格。常被称
为“基本证券”，是衍生证券定价另一重要思想方法。
内在联系：①风险中性定价在本质上与无套利具有内在一致性。另外，应该注意的是，风险中性假定仅仅是一个纯技术假定，但通过这种假定获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。
②状态价格定价法与无套利定价原理、风险中性定价原理也存在内在一致性。
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