第14讲 直线、圆的位置关系
一．【课标要求】
1．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；
2．探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离； 3．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系； 4．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；
5．在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。
二．【命题走向】
本讲考察重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系（特别是弦长问题），此类问题难度属于中等，一般以选择题的形式出现，有时在解析几何中也会出现大题，多考察其几何图形的性质或方程知识
预测2010年对本讲的考察是：
（1）一个选择题或一个填空题，解答题多与其它知识联合考察；
（2）热点问题是直线的位置关系、借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系，注重此种思想方法的考察也会是一个命题的方向；
（3）本讲的内容考察了学生的理解能力、逻辑思维能力、运算能力
三．【要点精讲】
1．直线l1与直线l2的的平行与垂直 （1）若l1，l2均存在斜率且不重合： ①l1//l2? k1=k2；②l1?l2? k1k2=－1。 （2）若l1:A1x?B1y?C1?0, 若A1、A2、B1、B2都不为零。
①l1//l2?A1A2?B1B2?C1C2l2:A2x?B2y?C2?0
；
②l1?l2? A1A2+B1B2=0； ③l1与l2相交?A1A2A1A2?B1B2B1B2?C1C2；
④l1与l2重合??；
注意：若A2或B2中含有字母，应注意讨论字母=0与?0的情况。两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数 2． 距离
（1）两点间距离：若A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB?(x2?x1)?(y2?y1)22
特别地：AB//x轴，则AB?|x1?x2|、AB//y轴，则AB?|y1?y2|。
（2）平行线间距离：若l1:Ax?By?C1?0,l2:Ax?By?C2?0，
1
则：d?C1?C2A?B22。注意点：x，y对应项系数应相等
（3）点到直线的距离：P(x?,y?),l:Ax?By?C?0，则P到l的距离为：Ax?d??By2??C2
A?B3．直线Ax?By?C?0与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系有三种
Aa?Bb?CA?B22（1）若d?，d?r?相离???0；
（2）d?r?相切???0； （3）d?r?相交???0。
?Ax?By?C?0还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组?2求解，通过解的2?x?y?Dx?Ey?F?0个数来判断：
（1）当方程组有2个公共解时（直线与圆有2个交点），直线与圆相交；
（2）当方程组有且只有1个公共解时（直线与圆只有1个交点），直线与圆相切； （3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；
即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为Δ，圆心C到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：
相切?d=r?Δ＝0； 相交?d
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2?d。 d?r1?r2?外离?4条公切线； d?r1?r2?外切?3条公切线；
r1?r2?d?r1?r2?相交?2条公切线； d?r1?r2?内切?1条公切线； 0?d?r1?r2?内含?无公切线；
2
外离 外切
相交 内切 内含
判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决 四．【典例解析】 题型1：直线间的位置关系
例1．（全国Ⅱ文15）已知圆O：x2?y2?5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 【解析】由题意可直接求出切线方程为y-2=?截距分别是5和【答案】
2545212(x-1)，即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的254，所以所求面积为
12?52?5?。
【总结点评】本题主要考查直线的方程、直线与圆的位置关系等知识，数形结合与分类讨论的思想方法，以及定性地分析问题和解决问题的能力.
（2）已知两条直线l1:ax?3y?3?0,l2:4x?6y?1?0.若l1//l2，则a?___ _。
解析：（1）答案：
12；（2）2。
点评：（1）三点共线问题借助斜率来解决，只需保证kAB?kAC；（2）对直线平行关系的判断在一般式方程中注意系数为零的情况。
例2．已知两条直线y?ax?2和y?(a?2)x?1互相垂直，则a等于（ ） A．2 B．1 C．0 D．?1 （2）（2007安徽理，7）
3
若曲线y?x4的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直，则l的方程为（ ） A．4x?y?3?0 B．x?4y?5?0 C．4x?y?3?0 D．x?4y?3?0 解析：（1）答案为D；（2）与直线x?4y?8?0垂直的直线l为4x?y?m?0，即y?x4在某一点的导数为4，而y??4x3，所以y?x4在(1，1)处导数为4，此点的切线为
4x?y?3?0，故选A。
点评：直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系，同时兼顾到斜率为零和不存在两种情况。 题型2：距离问题
例3． 将直线2x?y???0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2?y2?2x?4y?0
相切，则实数?的值为 （ ） （A）－3或7 （B）－2或8 （C）0或10 （D）1或11
【思路点拨】本题考查了平移公式、直线与圆的位置关系，只要正确理解平移公式和直线与圆相切的充要条件就可解决.
【正确解答】由题意可知：直线2x?y???0沿x轴向左平移1个单位后的直线l为：
2(x?1)?y???0.已知圆的圆心为O(?1,2)，半径为5.
解法1：直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，因而有 |2?(?1?1)?2??|5?5，得???3或7.
解法2：设切点为C(x,y)，则切点满足2(x?1)?y???0，即y?2(x?1)??，代入圆方程整理得：5x?(2?4?)x?(??4)?0， （*）
由直线与圆相切可知，（*）方程只有一个解，因而有??0，得???3或7. 解法3：由直线与圆相切，可知CO?l，因而斜率相乘得－1，即
2222y?2x?1?2??1，又因为C(x,y)在圆上，满足方程x?y?2x?4y?0，解得切点为(1,1)或(2,3)，又C(x,y)在直线
2(x?1)?y???0上，解得???3或7.
（2）（湖北文14）过原点O作圆x2+y2-－6x－8y＋20=0的两条切线，设切点分别为P、Q， 则线段PQ的长为 。
【解析】可得圆方程是(x?3)?(y?4)?5又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得PQ?4.
4
22
例4。 (圆、向量与三角函数)
设A、B为圆x2?y2?1上两点，O为坐标原点（A、O、B不共线）
???????????????? （Ⅰ）求证：OA?OB与OA?OB垂直.
????????3（Ⅱ）当?xOA?,?xOB??,??(?,),且OA?OB?时.求sin?的值.
4445????????????????2解：（Ⅰ）由|OA|?|OB|?1得|OA|?|OB|2?1
???????2????2 则OA?OB?1
????2????2???????????????? OA?OB?0 (OA?OB)?(OA?OB)?0
???????????????? 则OA?OB与OA?OB垂直 ?????? （Ⅱ）由?xOA?得OA?(cos,sin)
444???? 又?xOB???OB?(cos?,sin?)
?????????3??3 由OA?OB?得coscos??sinsin??
5445?3 即cos(??)?
45 ???4????4?0??4????2?sin(?4??)?45
???????? ?sin??sin??(??)??sincos(??)?cossin(??)
44444?4?22352245210 =
?????
点评：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能
力.比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想。该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度
题型3：直线与圆的位置关系
例5．（2009江苏卷18）（本小题满分16分） 22在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1:(x?3)?(y?1)?4和圆
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