由已知PM?2PN，得PM2?2PN2。
因为两圆半径均为1，所以PO12?1?2(PO22?1)。
2222设P(x，y)，则(x?2)?y?1?2[(x?2)?y?1]，
即(x?6)2?y2?33(或x2?y2?12x?3?0)。
点评：本小题主要考查求轨迹方程的方法及基本运算能力 题型7：课标创新题
例13．已知实数x、y满足(x?2)2?(y?1)2?1，求z?解析：
2y?1x的最大值与最小值。
y?1x2表示过点A（0，－1）和圆
(x?2)?(y?1)?1上的动点（x，y）的直线的斜率。如下图，当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分得最大值和最小值
设切线方程为y?kx?1，即kx?y?1?0，则|2k?2|k2别取
?1，解得k?4?377。
?14?3因此，zmax?，zmin?4?37
点评：直线知识是解析几何的基础知识，灵活运用直线知识解题具有构思巧妙、直观性强等特点，对启迪思维大有裨益。下面举例说明其在最值问题中的巧妙运用
例14．设双曲线xy?1的两支分别为C1、C2，正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上。若P?1，?1在C2上，Q、R在C1上，求顶点Q、R的坐标
??
分析：正三角形PQR中，有PQ?PR?QR， 则以P?1，?1为圆心，PR为半径
??的圆与双曲线交于R、Q两点。 根据两曲线方程可求出交点Q、R坐标
2解析：设以P为圆心，PR?r(r?0)为半径的圆的方程为：?x?1???y?1??r，
22 11
222???x?1???y?1??r由?得：x2?1???xy?1?r?1x?1?0。
2?（其中，可令t?x?1x进行换元解之）
设Q、R两点的坐标分别为x1，y1，x2，y2即?x1?x2???x1?x2??4x1x2?同理可得：?y1?y2??PQ2??????x?x2?，则?1??x1x2?12r?1?12。
222?r2?r?1?1??4，
?1?1??4， 且因为△PQR
22是正三角形，则
?QR2?r，
222
即r??x1?x2???y1?y2?2??2???r?1?12?2?2?4，得r?24。 ?? 代入方程x?1?2?r?1x?1?0，即x2?4x?1?0。
3??x2?2?或??3?y2?2?332?
??x2?4x?1?0?x1?2?由方程组?，得：?xy?1???y1?2?，
所以，所求Q、R的坐标分别为2??3，2?3，2???3，2?3
?点评：圆是最简单的二次曲线，它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用。对一
些数学问题，若能作一个辅助圆，可以沟通题设与结论之间的关系，从而使问题得解，起到铺路搭桥的作用
五．【思维总结】
1．关于直线对称问题：
（1）关于l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称问题：不论点，直线与曲线关于l 对称问题总可以转化为点关于l 对称问题，因为对称是由平分与垂直两部分组成，如求P（x0 ，y0）关于l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称点Q（x1 ，y1）．有＋C ＝0。
（2）解出x1 与y1 ；若求C1 ：曲线f（x ，y）＝0（包括直线）关于l ：Ax ＋By ＋C1 ＝0对称的曲线C2 ，由上面的（1）、（2）中求出x0 ＝g1（x1 ，y1）与y0 ＝g2（x1 ，y1），然后代入C1 ：f [g1（x1 ，y1），g2（x2 ，y2）]＝0，就得到关于l 对称的曲线C2 方程：f [g1（x ，y），g2（x ，y）]＝0。
（3）若l ：Ax ＋By ＋C ＝0中的x ，y 项系数|A|＝1，|B |＝1．就可以用直接代入解之，尤其是选择填空题。如曲线C1 ：y2 ＝4 x －2关于l ：x －y －4＝0对称的曲线l2 的方程
12
y0?y1x0?x1＝－
AB（1）与A·
x0?x12＋B·
y0?y12为：(x －4) ＝4（y ＋4）－2．即y 用x －4代，x 用y ＋4代，这样就比较简单了
（4）解有关入射光线与反射光线问题就可以用对称问题来解决 点与圆位置关系：P（x0 ，y0）和圆C ：(x －a) ＋(y －b) ＝r。 ①点P 在圆C 外有(x0 －a) 2 ＋(y0 －b) 2 ＞r2； ②点P 在圆上：(x0 －a) ＋(y0 －b) ＝r； ③点P 在圆内：(x0 －a) ＋(y0 －b) ＜r 。
3．直线与圆的位置关系：l ：f1（x ，y）＝0．圆C ：f2（x ，y）＝0消y 得F（x2）＝0。
（1）直线与圆相交：F（x ，y）＝0中? ＞0；或圆心到直线距离d ＜r 。 直线与圆相交的相关问题：①弦长|AB|＝
1?k22
222
22
22
22
1?k2·|x1 －x2|＝
，
y1?y22·(x1?x2)2?4x1x2，或|AB|＝2r?d22；②弦中点坐标（
x1?x22）；
③弦中点轨迹方程。
（2）直线与圆相切：F（x）＝0中? ＝0，或d ＝r ．其相关问题是切线方程．如P（x0 ，y0）是圆x2 ＋y2 ＝r2 上的点，过P 的切线方程为x0x ＋y0y ＝r2 ，其二是圆外点P（x0 ，y0）向圆到两条切线的切线长为(x0?a)?(y0?b)?r或x0?y0?r；其三是P（x0 ，y0）为圆x2 ＋y2 ＝r2 外一点引两条切线，有两个切点A ，B ，过A ，B 的直线方程为x0x ＋y0y ＝r2 。
（3）直线与圆相离：F（x）＝0中? ＜0；或d ＜r ；主要是圆上的点到直线距离d 的最大值与最小值，设Q 为圆C ：(x －a) 2 ＋(y －b) 2 ＝r2 上任一点，|PQ|max ＝|PC|＋r ；|PQ|min ＝|PQ|－r ，是利用图形的几何意义而不是列出距离的解析式求最值．
4．圆与圆的位置关系：依平面几何的圆心距|O1O2|与两半径r1 ，r2 的和差关系判定． （1）设⊙O1 圆心O1 ，半径r1 ，⊙O2 圆心O2 ，半径r2 则：
①当r1 ＋r2 ＝|O1O2|时⊙O1 与⊙O2 外切；②当|r1 －r2|＝|O1O2|时，两圆相切；③当|r1 －r2|＜|O1O2|＜r1 ＋r2 时两圆相交；④当|r1 －r2|＞|O1O2|时两圆内含；⑤当r1 ＋r2 ＜|O1O2|时两圆外离
（2）设⊙O1 ：x ＋y ＋D1x ＋E1y ＋F1 ＝0，⊙O2 ：x ＋y ＋D2x ＋E2y ＋F2 ＝0。 ①两圆相交A 、B 两点，其公共弦所在直线方程为（D1 －D2）x ＋（E1 －E2）y ＋F1 －F2 ＝0；
②经过两圆的交点的圆系方程为x2 ＋y2 ＋D1x ＋E1y ＋F1 ＋?（x2 ＋y2 ＋D2x ＋E2y
2
2
2
2
222222 13
＋F2）＝0（不包括⊙O2 方程）
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