C2:(x?4)?(y?5)?4. 22（1）若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程； （2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标 解 (1)设直线l的方程为：y?k(x?4)，即kx?y?4k?0 由垂径定理，得：圆心C1到直线l的距离d?结合点到直线距离公式，得：|?3k?1?4k|k?124?(2232)?1，
2?1,
化简得：24k?7k?0,k?0,or,k??2724
求直线l的方程为：y?0或y??724(x?4)，即y?0或7x?24y?28?0
(2) 设点P坐标为(m,n)，直线l1、l2的方程分别为：
y?n?k(x?m),y?n??1k(x?m)，即：kx?y?n?km?0,?1kx?y?n?1km?0
因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等。 由垂径定理，得：：圆心C1到直线l1与C2直线l2的距离相等。
故有：|?3k?1?n?km|k?12|??4k?5?n?1k21km|，
?1化简得：(2?m?n)k?m?n?3,或(m?n?8)k?m?n?5 关于k的方程有无穷多解，有：??2?m?n?0?m-n+8=0,或??m?n?3?0?m+n-5=0
解之得：点P坐标为(?3,13)或(5,?1)。
2222例6．已知圆M：（x＋cos?）2＋（y－sin?）2＝1，直线l：y＝kx，下面四个命题：
（A） 对任意实数k与?，直线l和圆M相切；
（B） 对任意实数k与?，直线l和圆M有公共点；
（C） 对任意实数?，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切； （D）对任意实数k，必存在实数?，使得直线l与和圆M相切 其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）
解析：圆心坐标为（－cos?，sin?）
6
d＝
|－kcos?－sin?|1＋k2＝1＋k|sin（?＋?）|1＋k22 ＝|sin（?＋?）|?1故选（B）（D）
点评：该题复合了三角参数的形式，考察了分类讨论的思想。 题型4：直线与圆综合问题
例7．（江西理16）．设直线系M:xcos??(y?2)sin??1(0???2?),对于下列四个命题：
A．M中所有直线均经过一个定点 B．存在定点P不在M中的任一条直线上
C．对于任意整数n(n?3)，存在正n边形,其所有边均在M中的直线上 D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）． 【解析】因为xco?s?y(?1cos??sin?222)?s?in所以点P(0,2到)M中每条直线的距离
d??1
即M为圆C:x2?(y?2)2?1的全体切线组成的集合,从而M中存在两条平行直线, 所以A错误；
又因为(0,2)点不存在任何直线上,所以B正确； 对任意n?3,存在正n边形使其内切圆为圆C,故C正确；
M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF,故D错误, 故命题中正确的序号是 B,C. 【答案】B,C
例8．（江西理16）．设直线系M:xcos??(y?2)sin??1(0???2?),对于下列四个命题：
A．M中所有直线均经过一个定点 B．存在定点P不在M中的任一条直线上
C．对于任意整数n(n?3)，存在正n边形,其所有边均在M中的直线上 D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
7
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）． 【解析】因为xco?s?y(?1cos??sin?222)?s?in所以点P(0,2到)M中每条直线的距离
d??1
即M为圆C:x2?(y?2)2?1的全体切线组成的集合,从而M中存在两条平行直线, 所以A错误；
又因为(0,2)点不存在任何直线上,所以B正确； 对任意n?3,存在正n边形使其内切圆为圆C,故C正确；
M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF,故D错误,
故命题中正确的序号是 B,C. 【答案】B,C
例9．（江西理16）．设直线系M:xcos??(y?2)sin??1(0???2?),对于下列四个命题：
A．M中所有直线均经过一个定点 B．存在定点P不在M中的任一条直线上
C．对于任意整数n(n?3)，存在正n边形,其所有边均在M中的直线上 D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）． 【解析】因为xco?s?y(?1cos??sin?222)?s?in所以点P(0,2到)M中每条直线的距离
d??1
即M为圆C:x?(y?2)?1的全体切线组成的集合,从而M中存在两条平行直线, 所以A错误；
又因为(0,2)点不存在任何直线上,所以B正确； 对任意n?3,存在正n边形使其内切圆为圆C,故C正确；
M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF,故D错误,
22故命题中正确的序号是 B,C. 【答案】B,C
8
2
例10．已知函数f(x)=x－1(x≥1)的图像为C1，曲线C2与C1关于直线y=x对称。 （1）求曲线C2的方程y=g(x)；
（2）设函数y=g(x)的定义域为M，x1，x2∈M，且x1≠x2，求证|g(x1)－g(x2)|<|x1－x2|; （3）设A、B为曲线C2上任意不同两点，证明直线AB与直线y=x必相交。 解析：（1）曲线C1和C2关于直线y=x对称，则g(x)为f(x)的反函数。 ∵y=x－1，x=y+1，又x≥1，∴x=
2
2
y?1，则曲线C2的方程为g(x)=
x?1(x≥0)。
（2）设x1，x2∈M，且x1≠x2，则x1－x2≠0。又x1≥0， x2≥0， ∴|g(x1)－g(x2)|=|
x1?1 －x2?1|=
x1?x2x1?1?x2?1≤
x1?x22<|x1－x2|。
（3）设A(x1，y1)、B（x2，y2）为曲线C2上任意不同两点，x1，x2∈M，且x1≠x2， 由（2）知，|kAB|=|
y1?y2x1?x2|=
|g(x1)?g(x2)||x1?x2|<1
∴直线AB的斜率|kAB|≠1，又直线y=x的斜率为1，∴直线AB与直线y=x必相交。 点评：曲线对称问题应从方程与曲线的对应关系入
B手来处理，最终转化为点的坐标之间的对应关系
题型6：轨迹问题 yA例11．已知动圆过定点?x??p2?p?,0?，且与直线?2?NM相切，其中p?0。
o?p?F?,0??2?x??p2x（I）求动圆圆心C的轨迹的方程；
（II）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，线OA和OB的倾斜角分别为?和?，当?,?变化且
直
???为定值?(0????)时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。
p?的垂,0?为记为F，过点M作直线x??2?2?解析：（I）如图，设M为动圆圆心，??p线，垂足为N，由题意知：MF?MN即动点M到定点F与定直线x???pp2的距离相等，
由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F?迹方程为y?2px(P?0)；
2p?,0?为焦点，x??为准线，所以轨
2?2?（II）如图，设A?x1,y1?,B?x2,y2?，由题意得x1?x2（否则?????）且x1,x2?0 9
所以直线AB的斜率存在，设其方程为y?kx?b，显然x1?y?2px(P?0)y1?y2?2pk2y122p,x2?y222p，将y?kx?b与
联立消去x2pbk，得k2y?2p?y2?p由0b韦达定理知
,y1?y2?①
?2（1）当???2时，即????时，tan??tan??1所以
y1x1?y2x2?1,x1x2?y1y2?0，
y1y24p222?y1y2?0所以y1y2?4p由①知：
22pbk?4p所以。因此直线AB的方程可表示为
2y?kx?2Pk，即k(x?2P)?y?0，所以直线AB恒过定点??2p,0?。
（2）当???2时，由?????，
tan??tan?1?tan?tan?2p(y1?y2)y1y2?4p2得tan??tan(???)==，
将①式代入上式整理化简可得：tan??2pb?2pk2p，所以b?2ptan??2pk，
此时，直线AB的方程可表示为y?kx?2p???2pk即k(x?2p)??y???0，tan?tan???所以直线AB恒过定点??2p,??2p??。 tan??所以由（1）（2）知，当????2p??。 tan???2时，直线AB恒过定点??2p,0?，当???2时直线AB恒
过定点??2p,点评：该题是圆与圆锥曲线交汇题目，考察了轨迹问题，属于难度较大的综合题目。 例12．如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2?4. 过动点P分别作圆O2、圆O2的切线PM，NPN（M，分别为切点），使得PM?2PN. 试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程
解析：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则
O1(?2，0)，O2(2，0)。
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