U V0
D
解：第1步：从股票二叉图得到q。 由公式（4.5.6）知： 55 1.04?50?55q?40(1?q) q 从 50 52?55q?40(1?q)
我们得到 1?q
12?55q?40q?15q 40 所以 q?12?0.8 15第2步：对衍生产品价值U和D求平均。
1． 如果看涨期权执行价为48美元，那么U?7以及D?0，看涨期权的价格为：
15.6[q?7?(1?q)?0]?1.041.04 5.38（美元）2． 如果看涨期权执行价为53美元，那么U?2，看涨期权的价格为：
11.6 (0.8?2?0)?1.54（美元）1.041.0411.0(0?0.2?5)?1.041.043． 如果看跌期权执行价为45美元，那么U?0以及D?5，看跌期权的价格为：
题4-11 （本题更正如下：）
假设名义利率为r，现在考虑如下的期权定价。该期权是未来以指定价格购买一种股票，股票的初始价格是100并且假设一段时间后股票的价格只可能是200或者50。如果在0时刻我们能以每股C的价格买入一个期权，这个期权使我们在时刻1能以每股150的价格购买股票，那么当C的值为多少时稳赢的赌博不可能存在？
解：在本节的背景下，试验的结果是时刻1时的股票价格，因此，有两种可能的结果。与此同时也存在两种不同的赌博：买（或者卖）股票和买（或者卖）期权。由套利定理我们
0.96（美元） 16
知道，如果在结果集上存在概率(p,1?p)使得这两种赌博的期望收益现值为零，那么就不会有稳赢的情况出现。
购买一股该股票收益的现值为：
200(1?r)?100 如果在时刻1时的价格是200
收益 = 50(1?r)?100 如果在时刻1时的价格是50 因此，若在时刻1时股票价格是200的概率为p，那么
?1?1?200??50?E[收益]?p??100??(1?p)??100?
?1?r??1?r? ?p15050??100。 1?r1?r1?2r。 3令这个式子等于零，我们就得到： p?由此可见，若赌博为购买股票，那么使得该赌博的期望收益是零的概率向量(p,1?p)只可能是p?(1?2r)/3。
此外，购买一个期权收益的现值为：
50(1?r)?C 如果在时刻1时的价格是200
收益 = ?C 如果在时刻1时的价格是50 因此，当p?(1?2r)/3时，购买一个期权的期望收益是：
?1E[收益]?1?2r50?C。
31?r根据套利定理，我们就得到了不可能存在稳赢策略时C的唯一值是：
C?即，
1?2r50
31?rC?
50?100r，
3(1?r)题4-12 假设一个证券现在的售价是30，名义利率是8%（单位时间为1年），这种证券的波动率是0.20。求一个3个月后到期且执行价为34的买入期权的无套利价格。
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解：本题中的参数是： t?0.2，， 5 r?0.08所以我们就有
， K?34， S(0)?3 0??0.20??由此得到
0.02?0.005?log(34/30)??1.0016
(0.2)(0.5)C?30?(?1.0016)?34e?0.02?(?1.1016)
?30(0.158?27) ?0.238 3这个期权合适的价格就应该是24。 题4-13
定义 函数f(x)称为凸的，如果对所有的x和y，以及0???1，有 f(?x?(1??)y)??f(x)?(1??)f(y)
函数凸性的几何解释是，?f(x)?(1??)f(y)是f(x)和f(y)连线上的点，它给f(x)的权重与在x和y的连线上的点?x?(1??)y所给予点x的权重是相同的。因此，凸性的几何解释又是，连接曲线f(x)上任意两点的直线总在这段曲线之上（或与曲线重合）。试证明下面的结论。
命题 令C(K,t)是以某特定证券为标的的买入期权的价格，这个期权的敲定价为K，到期日为t。
(34(0.9802)a)对于固定的到期日t，C(K,t)关于K是凸的非增函数。 b)对于任意s?0，有C(K,t)?C(K?s,t)?s。
解：凸函数的几何意义如下图所示
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f(x)● ?f(x)?(1??)f(y) ● ●
f(?x?(1??)y) ● f(y)
x ?x?(1??)y y
如果用S(t)来表示标的证券在t时刻的价格，那么在t时刻买入期权的回报是： S(t)?K 若S(t)?K，
期权的回报= 0
这就是说，
期权的回报=(S(t)?K)?，
其中，x（称为x的正部）定义为：当x?0时取值x，当x?0时取值0。对于固定的S(t)，从回报函数(S(t)?K)的图像，它是关于K的凸函数。
S(t) K
为了证明C(K,t)是关于K的凸函数，假设
K??K1?(1??)K2， 0???1。 现在考虑以下两个投资：
1） 购买1(K,t)买入期权。
?若S(t)?K。
?19
2） 购买?(K1,t)买入期权和(1??)(K2,t)买入期权。
因为投资1）在t时刻的回报为(S(t)?K)，而投资2）在t时刻的回报为
??(S(t)?K1)??(1??)(S(t)?K2)?，由函数(S(t)?K)?的凸性可知，投资2）的回报至少
应该和投资1）的回报一样大。因此，由广义一价律，要么投资2）的成本至少和投资1）的成本相等，要么存在套利。这就是说，要么
C(K,t)??C(K1,t)?(1??)C(K2,t)
要么存在套利。这证明了函数C(K,t)的凸性。对于C(K,t)关于K的非增函数的证明，作为练习留给读者。
要证明b)部分，应该注意到，如果C(K,t)?C(K?s,t)?s，那么通过卖出一个t时刻到期、敲定价为K的买入期权，并买入一个t时刻到期、敲定价为K?s的买入期权，就可以得到套利机会。因为敲定价为K的期权的回报比敲定价为K?s的期权的回报，最多多出s，因此从这个投资组合总会得到正的利润。
第五章（P243）
题5-1 什么是零息债券？什么是付息债券？
解：见本章5.2.1 零息债券和付息债券的第一个自然段。
题5-2 什么是利率期限结构？
解：见本章5.3.1 债券的利率期限概念这节中的：利率期限结构是指一种债券的到期期限与它的到期收益率之间的关系，及其不同期限债券利率之间的关系。
题5-3 什么是即期利率？什么是远期利率？即期利率与远期利率关系如何？ 解：参见本章5.3.1 债券的利率期限概念。具体内容如下：即期利率指，债券发行人和投资人商定在未来某一时刻一次偿还所借款项时投资人获得的收益率。
远期利率指，当订立借款合约的日期与真正实施合约的日期不一致，通常在订立合约后一年或更长时期才实施的利率。
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