由于远期利率是发生在未来的、目前尚不可知的利率，实践中远期利率是从即期利率中推导出的一个理论值。即远期利率是起点在未来的即期利率。
题5-4 一个投资者有本金x，可以投资的钱数在0到x之间，如果投资了y，则会以概率p获益y，以1?p损失y。如果p?1/2，投资者的效用函数是对数的，则投资者应该投入多少？
解：设投入金额是ax，0?a?1，投资者的投资结果记为X，它等于x?ax或x?ax，出现这两种结果的概率分别是p，1?p，它们的期望效用为：
plog(?(1ax)?)?(1p)lo?ga(( x1 ?plog(1?a)?plog(x)?(1?p)log(1?a)?(1?p)log(x) ?log(x)?plog(1?a)?(1?p)log(1?a) 为求出a的最优值，对上式关于a求导
plog(1?a)?(1?p)log(1?a) 得：
dp1?p (plog(1?a)?(1?p)log(1?a))??da1?a1?a令上式等于0，得：
p?ap?1?p?a?ap 或 a?2p?1
所以投资者每次都应投资他现有财富的100(2p?1)%。例如，如果获利的概率p?0.6，则投资者应该投资全部财富的20%。如果p?0.7，他应该投资40%（当p?1/2时，容易证明最优投资数量为0）。
题5-5 假设投资ax后，如果获利，则收益2ax在一个单位时间之后才会支付，并假设未投资的部分可以存入银行，每期利率为r。求此情况下，应投资多少？
解：设投资者投资ax，将剩余的(1?a)x存到银行，那么一期后，存款变为
(1?r)(1?a)x，而投资部分变为2ax（概率为p）或0（概率为1?p）。他财富的期望效
用为：
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plog((1?r)(1?a)x?2ax)?(1?p)log((1?r)(1?a)x) ?log(x)?plog(1?r?a?ar) ?(1?p)log(1?r)?(1?p)log(1?a)
因此，一个人财富的最优投资比例不会因财富的多少而改变。现对上式关于a求导有：
dp(1?r)1?p (期望效用）??da1?r?a?ar1?a令此导数值等于0，解方程可得a的最优值：
a?p(1?r)?(1?p)(1?r)2p?1?r ?1?r1?r例如，当p?0.6，r?0.05时，投资的期望回报率是20%（而全部资本存入银行只能收益5%），此时最优投资比例为
a?0.15?0.158 0.95也就是说，投资者应该将财富的15.8%进行投资，而将剩余的部分存入银行。
题5-6 根据收益率曲线，1年期的收益为4.7％，5年期的收益为5.1％，求零息券的远期价格P0(1,5)。 解：从收益率曲线可求得
P(0,1)?e和
P(0,5)?e所以
P(1,5)?P(0,5)P(0,1)?e
?0.255?0.047
?0.051?5?e?0.755
?e?0.755e?0.047?0.8122
第六章 （P279）
题6-1 本书一共讨论了几种最优消费-投资模型？各自的含义是什么？
解：一般说来，金融研究用最优化模型方法主要是为了解决三类问题，也可以说，最优化模型在金融研究中有三种基本形式，一是研究消费和投资之间关系的，二是研究资产之间组合关系的，三是研究风险和收益之间关系的。每一类形式都有静态（也称作单时期）和动
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态（也称作多时期或跨时期）之分。
题6-2 本书一共讨论了几种最优投资模型？各自的含义是什么？
解：这节我们讨论三种不同含义的资产组合优化模型，它们的共同特征是可以实际求出最终显示解的模型，即三大类投资组合问题：第一类，当固定资金投资到多个资产或项目时，其中各个项目分配多少资金，同时还要实现总收益最大；第二类，不确定环境中投资机会的优化组合，其中把风险作为某种投资机会；第三类，风险投资的线性优化模型。这里需要强调的是后两类投资优化分析，尤其是第三类模型。因为我们现在所研究的最优化（消费-投资、资产组合、投资组合等）组合模型所利用的，都是要求满足一阶和二阶条件的隐函数形式，其均衡分析是理论意义上的，其实，均衡的结果我们并没有实际得到。但是，在风险投资的线性优化模型中，可以用著名的库恩-塔克（Kuhn—Tucker）方法把所要的结果都求出来。
题6-3 均值-方差模型有几种形式？
解：典型的风险投资问题是在收益率和方差之间做选择，一种选择是把预期收益率的最大化为目标函数，方差为约束条件；一种选择是把方差最小化为目标函数，预期收益率为约束条件。这是马科威茨（1952）原始模型的思想。
题6-4 与传统最优化分析比较，博弈论分析的最大优点是什么？
解：现在用博弈论来研究金融问题是个非常有前途的新兴方向，有兴趣的读者可以阅读马丁·舒贝克的《货币和金融机构理论》。
在现代金融学中，交易（行为）研究是非常重要的一个分支，有些甚至称之为金融行为学。在博弈论的观点来说，行为与策略并不都是一回事。策略是当轮到个人行动时他选择行动的计划和获得信息的过程。直观地说，策略可能先存在于行为。从理论上讲，策略与行为之间存在因果关系。具体的事例是，当一个人的行动是在另一个人的行动之后时，他就需要对前者行为的随机性进行判断，然后才做出行动的选择。如果前者行为的随机性属于信息的范畴，那么在信息与行为之间，还可能存在着策略这一层复杂内容。这就是为什么博弈论方法可以为我们提供对人类行为更深刻认识的原因之一。
另外，与传统的优化模型比较，博弈论模型简洁方便，不要求诸多严格的演绎分析条件，尤其是可以不作边际分析。这就为处理信息、不确定性和风险等外生因素和变量创造了方便，避免了模型分析中的困难。因此，现在博弈论在金融研究中的运用成了非常诱人的方法。
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