第三章 m序列
3.1 m序列的定义
m序列是最长线性反馈移存器序列的简称，它是由带线性反馈的移存器产生的周期最长的一种序列。
3.2 m序列的产生
扰码的目的是使短周期输入序列变为长周期的信道序列。从原则上看，就可以用将一个长周期序列叠加在输入序列上的方法来实现，并且叠加序列的周期越长越好。从理论上说，一个真正的随机（二进制）序列的“周期”是无限长的，但是，采用这种序列时在接收端将无法产生相同的序列与之同步。所以，人们就不得不企图用简单电路来产生尽量长的序列。同时随机噪声在通信技术中，首先是作为有损通信质量的因素受到人们重视的。信道中存在的随机噪声会使模拟信号产生失真，或使数字信号解调后出现误码；同时，它还是限制信道容量的一个重要因素。因此，最早人们是企图设计消除或减小通信系统的随机噪声，但是，有时人们也希望获得随机噪声。例如，在实验室中对通信设备或系统进行测试时，有时要故意加入一定的随机噪声，这时则需要产生它。
20世纪40年代末，随着通信理论的发展，仙农（Shannon）就曾指出，在某种情况下，为了实现最有效的通信，应采用具有白噪声的统计特性的信号。另外，为了实现高可靠的保密通信，也希望利用随机噪声。然而，利用随机噪声的最大困难是它难以产生和处理。直到60年代，伪随机噪声的出现才使上述困难的到解决。
伪随机噪声具有类是与随机噪声的一些统计特性，同时又便于重复产生和处理。由于它具有随机噪声的优点，又避免了它的缺点，因此获得了日益广泛的实际应用。目前广泛应用的伪随机噪声都是由数字电路产生的周期序列（即滤波等处理后）得到的。今后我们将这种周期序列称为伪随机序列。
通常产生伪随机序列的电路为一反馈移存器。他又可分为线性反馈移存器和非线性反馈遗存器两类。由线性反馈遗存器产生出的周期最长的二进制数字序列，称为最大长度线性反馈遗存器序列，通常简称为m序列。由于它的理论比较成熟，实现比较简便，实际应用也比较广泛，故这里将重点讨论它。
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m序列是最长线性反馈移存器序列的简称，它是由带线性反馈的移存器产生的周期最长的一种序列 。图1就是一个这样的电路。图中示出了n级移位寄存器，其中有若干级经模2加法器反馈到第1级。不难看出，在任何一个时刻去观察移位寄存器的状态，必然是2n个状态之一，其中每一状态代表一个n位的二进制数字；但是，必须把全0排斥在外，因为如果一个进入全0，不论反馈线多少或在哪些级，这种状态就不会再改变。所以，寄存器的状态可以是非全0的2n?1状态之一。这个电路的输出序列是从寄存器移出的，尽管移位寄存器的状态每一移位节拍改变一次，但无疑地是循环的。如果反馈线所分布的级次是恰当的，那么，移位寄存器的状态必然各态历经后才会循环。这里所谓“各态历经”就是所有2n?1个状态都经过了。由此可见，应用n级移位寄存器所产生的序列的周期最长是2n?1。同时由于这种序列虽然是周期的，但当n足够大时周期可以很长，在一个周期内0和1的排列有很多不同方式，对每一位来说是0还是1，看来好像是随机的，所以又称为伪随机码；又因为它的某一些性质和随机噪声很相似，所以又称为伪噪声码（PN码）。
输出 an?1 an?2 a1 a0
图3-1 最长线性移位寄存序列的产生
要用n级移位寄存器来产生m序列，关键在于选择哪几级移位寄存器作为反馈，这里扼要陈述选择的方法，但不予证明。将移位寄存器用一个n阶的多项式f(x)表示，这个多项式的0次幂系数或常数为1，其k次幂系数为1时代表第k级移位寄存器有反馈线；否则无反馈线。注意这里的系数只能取0或1，x本生的取值并无实际意义，也不需要去计算x的值。称f(x)为特征多项式。例如特征多项式f(x)?1?x?x4对
2所示的电路。
理论分析证明：当特征多项式f(x)是本原多项式时，与它对应的移位寄存器电路就能产生m序列，如果加、减法采用模2运算，那么的倒量g(x)?
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1就代表所产生的m序列，f(x)这个序列各位的取值按g(x)自低至高的幂次的系数。所谓“本原多项式”，即f(x)必须满足以下条件：
（1） f(x)为既约的，即不能被1或它本身以外的其他多项式除尽； （2） 当q?2n?1时，则f(x)能除尽1?xq； （3） 当q?2n?1时，f(x)不能除尽1?xq。
输出 x1x2 x3 x4移位
图3-2 m序列的产生
由上述可见，只要找到了本原多项式，就能由它构成m序列产生器。但是寻找本原多项式并不是很简单的。经过前人大量的计算已将常用本原多项式列成表备查，如在表3.1中列出了一部分。 n 本原多项式 代数式 八进制数字表示法 2 3 4 5 6 7 x2?x?1 x3?x?1 x4?x?1 x5?x2?1 x6?x?1 x7?x3?1 n 代数式 本原多项式 八进制数字表示法 7 13 23 45 103 211 14 15 16 17 18 19 x14?x10?x6?x?1 x15?x?1 x16?x12?x3?x?1 x17?x3?1 x18?x7?1 x19?x5?x2?x?1 42103 100003 210013 400011 1000201 2000047 13
8 9 10 11 12 13 x8?x4?x3?x2?1 x9?x4?1 435 1021 2011 4005 10123 20033 20 21 22 23 24 25 x20?x3?1 x21?x2?1 4000011 10000005 20000003 40000041 100000207 200000011 x10?x3?1 x11?x2?1 x12?x6?x4?x?1 x13?x4?x3?x?1 x22?x?1 x23?x5?1 x24?x7?x2?x?1 x25?x3?1 3.3 m序列的性质
（1） 均衡性
在m序列的一个周期中，“1”和“0”的数目基本相等。准确地说，“1”的个数比“0”的个数多一个。 （2） 游程分布
我们把一个序列中取值相同的那些相继的（连在一起的）元素合称为一个“游程”。在一个游程中元素的个数称为游程长度。
一般来说，在m序列中，长度为1的游程占游程总数的1/2；长度为2的游程占游程总数的1/4；长度为3的占1/8??严格地讲，长度为k的游程数目占游程总数的2?k，其中1?k?n?1。而且在长度为k的游程中,连“1”的游程和连“0”的游程各占一半。 （3） 移位相加特性
m序列和它的位移序列模二相加后所得序列仍是该m序列的某个位移序列。 设Mr是周期为p的m序列Mp r次延迟移位后的序列， 那么 Mp?Mr=Ms 其中Ms为Mp某次延迟移位后的序列。 例如，
Mp=0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1?Mp延迟两位后得Mr, 再模二相加 Mr=0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0, ??
Ms= Mp+Mr=0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 , ???
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可见，Ms= Mp+Mr为m p延迟 8 位后的序列。 （4） 自相关特性
m序列具有非常重要的自相关特性。在m序列中，常常用+1代表 0，用-1代表 1。 此时定义：设长为 p的m序列， 记作 a1,a2,a3,?,ap(p?2n?1)。经过j次移位后，m序列为aj?1,aj?2,aj?3,?,aj?p，其中ai?p?ai (以 p 为周期)，以上两序列的对应项相乘然后相加， 利用所得的总和 a1?aj?1?a2?aj?2?a3?aj?3??ap?aj?p??aiaj?i （3-1）
i?1p来衡量一个m序列与它的j次移位序列之间的相关程度，并把它叫做m序列(a1,a2,a3,?,ap)的自相关函数。记作
R(j)??aiaj?i （3-2）
i?1p当采用二进制数字 0 和 1 代表码元的可能取值时
R(j)?A?DA?D? （3-3） A?DpR(j)?[ai?ai?j?0的数目]?[ai?ai?j?1的数目]p （3-4）
由移位相加特性可知，ai?ai?j仍是m序列中的元素， 所以上式分子就等于m序列中一个周期中 0 的数目与 1 的数目之差。 另外由m序列的均衡性可知， 在一个周期中 0 比 1 的个数少一个， 故得A-D=-1(j为非零整数时)或p(j为零时)。 因此得
j?0?1 （3-5） R(j)??j??1,?2,?,?(p?1)??1/pm序列的自相关函数只有两种取值(1和-1/p)。R(j)是一个周期函数，即
R(j)?R(j?kp)，式中，k=1,2,?, p=(2n-1)为周期。 而且R(j)是偶函数， 即 R(j)?R(?j)
j=整数
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