近世代数学习指导
1. 判断下列二元关系是否是等价关系:
设A?{a,b,c},R1?{(a,b),(b,a),(a,a),(b,b)}；
R2?{(a,b),(b,a),(a,a),(b,b),(c,c)}；
R3?{(a,b),(b,b),(c,c),(a,b),(b,a),(b,c),(c,b)}； R4?{(a,b),(b,b),(c,c),(a,b),(b,c),(a,c)}.
提示:R1不是等价关系，因为(c,c)?R1，即不具有反身性，尽管具有对称性、传递性；
R2是等价关系，因为具有反身性、对称性、传递性；R3不是等价关系，因为(a,c)?R3，
即不具有传递性,尽管具有反身性、对称性；R4不是等价关系，因为(c,b)?R4，即不具有对称性,尽管具有反身性、传递性．
2.设A?Z,A?{所有偶数},?是普通数的乘法.证明:(A,?)与(A,?)不同构. 提示 若(A,?)与(A,?)同构,设?是使其同构的同构映射.
设1?2n,?1?2m,那么?(?1)??(1(?1))??(1)?(?1)?(2n)(2m),所以
(2n)(2m0?2m.若m?0,则2n?1,显然矛盾；若m?0,即?(?1)?0,则
?(1)??(?1)?(?1)?0,这样就有-1,1的象都是0,这与?是一一映射矛盾.所以,
(A,?)与(A,?)不同构.
3．设A?{a,b,c}，A的代数运算?由下表给定： 1. 集合A上的变换有几个？集合A上的单变换有几个？
2. 定义在A上的自同态映射有几个？
3. 定义在A上的自同构有几个？并具体写出来？
提示：1. 27;6 2. 9 3. 2；?:a?a,b?b,c?c；
? a b c a c c c b c c c c c c c ?:a?b,b?a,c?c
4.分别举一个无单位元、有左单位元但无单位元、有单位元的半群的例子.
提示 2Z,?是无单位元的半群；设S?{(a10a2)|ai?Q,i?1,2}，(S,?)是具有左单0 1
位元
1x00但无单位元的半群；Z,?,其中?,?,分别表示数的普通乘法、矩阵的普通乘法.
5.一个有限群的每一个元的阶都有限.
提示 设G是有限群，任取a?G,则a,a2,a3,?不能全不相同,因G中只有有限个元素之故．设ai?aj,i?j,则ai?j?e,i?j?k是自然数．命
A?{k|ak?e,k?N},则A非空,而自然数的非空集合有最小元,设A的最小元为m,则
am?e,即m是a的周期.
6.设G群除单位元以外的每一个元的周期均为2,则G是交换群. 提示 ?a?G,因a?e,而aa2?1?e,故a2?aa?1,由消去律知a?1?a；任取
a,b?G则有a?a?1,b?b?1,又(ab)?1?b?1a?1?ba,但ab?G,故(ab)?1?ab进而,
ab?(ab)?1?b?1a?1?ba，即G是交换群.
7.设a的周期为m,b的周期为n,(m,n)?1,且ab?ba,则ab的周期为mn. 提示 设ab的周期为k.由于(ab)mn?amnbmn?e,故k|mn,又
(ab)km?akmbkm?bkm,而(ab)km?e,故bkm?e,n|km,但(m,n)?1,故n|k.同样可得
n|k,再一次利用(m,n)?1,有mn|k,则有mn?k,即ab的周期为mn.
8.证明：阶是素数p的群G一定是循环群.
提示 因p?1,故存在a?G,a的周期为m?1,又m|p,而p是素数,则m?p,即
G?(a).
9. 假定群G的元a的周期是n.证明a的周期是因子.
提示 首先(a)mrndrn,这里d?(r,n)是r和n的最大公d?anrd?(a)?e；其次,若有自然数m,使得(ar)m?e,则
nrdar?e,故n|rm,又(n,r)?d,故有整数s、t,使得n?sd,r?td,且(s,t)?1,那么
sd|tdm,即s|tm,但(s,t)?1,故s|m,即
nn|m,从而?(ar)?. ddr10. 假定群G的阶为n,且G?(a).证明：G?(a),这里(r,n)?1.
2
m提示 因(r,n)?1,故存在整数s、t,使得rs?nt?1,这样?a?G,有
am?amrs?mnt?(ar)ms(an)mt?(ar)ms,故ar是G的一个生成元,从而G?(ar)．
11.已知置换??(123)(45),????5?(1)求?的阶；
?12344???(15243)
4321??))?3,?((45))?2,且(123)(45)?(45)(123),(2,3)?1 提示 因为?((123)(45))?6． 故?((123(2)求????1及其阶；
提示 因为??1?(34251),故????1?(154)(23),从而?((123)(45))?6. (3)将????1表示成形式为(1i)的2轮换的乘积.
提示 因为(i1i2?ik)?(i1ik)(i1ik?1)(i1i2),(ij)?(1i)(1j)(1i),所以 ????1?(154)(23)?(14)(15)(12)(13)(12). 12．设?,??S7，其中????2??1234567??)(45). ，??(123?461375? 1. 将置换?分解为不相交轮换的乘积，并求该置换的阶; 2. 求???3. 将????1及其阶;
表示成形式为(1i)的2轮换的乘积.
?1)，|?|?12 ；2. ????1?(123)(235) ；提示：1.??(124)(3675 )(45)?(132)(45)?(1674（或???3. ????1?1)，|????1|?12 ?(123)(45)?(132)(45)?(153)(2674?(14)(17)(16)(25)(23)?(14)(17)(16)(12(15)(13)(12) ；
13．求模6加群(Z6,?6)的每个元的阶及生成元。
解： Z6 阶 生成元 0 1 2 3 4 5 1 6 3 2 3 6 1 5 3
14．设G是群，a,b?G，并且|a|?3,|b|?2，ba?ab，求由a,b生成的子群(a,b)。 解：按定义(a,b)?{x11x22?xss|xi?a或b,ni?Z}。由于ba?ab，并且
nnn|a|?3,|b|?2，从而(a,b)的任一元素可表为：h?aibj,i?0,1,2,j?0,1,
所以(a,b)的阶最多是6。又因(|a|,|b|)?1,ba?ab，所以|ab|?|a||b|?6， 因此知(a,b)是由ab生成的循环群，其元素为
e?(ab)0，ab，(ab)2?a2，(ab)3?b，(ab)4?a，(ab)5?a2b。
15．设9次置换????5??123456789??， ?37618942?（1）将?表成互不相交的轮换乘积；
(2) 将?表示成形式为对换的乘积； (3)求出?的逆与?的阶。
提示：（1）??(15)(2379)(468),（2）??(15)(29)(27)(23)(48)(46) （3）??1?(15)(9732)(864),|?|?12。
16．设S3是三次对称群，H?{(1),(12)}是S3的子群。 （1）求出S3关于H的所有左陪集和右陪集； （2） 写出S3的所有子群与正规子群。
)}---3分 提示：左陪集：H?{(1),(12)} ；(13)H?{(13),(132)}；(23)H?{(23),(123)}；H(23)?{(23),(132)}---6分 右陪集：H?{(1),(12)} ；H(13)?{(13),(123子群：H1?{(1)},H2?{(1),(12)}
H3?{(1),(13)}},H4?{(1),(23)},H5?{(1),(123),(132)},H6?S3六个子群；---12分 H1?{(1)},H5?{(1),(123),(132)},H6?S3三个正规子群；---15分
17．阶群至少有一个3阶子群 证明：设G是一个6阶群,e是的单位元，由Lagrange定理, G的非单位元的阶只能是2,3,或6.
提示：若G中非单位元的阶皆为2,则G是交换群。设a,b是两个2阶元，则{e,a,b,ab}是G 4
的4阶子群这与Lagrange定理矛盾，所以G中必有3阶元或6阶元。
若b是6阶元,则b是三阶元,因此G必有一个3阶子群；若c是三阶元，则G必有一个3阶子群。
18．设N?G，证明：N?G的充要条件是N的任意两个左陪集的乘积是左陪集。
证明：N?G?aN?bN?a(Nb)N?a(bN)N?(ab)NN?(ab)N,?a,b?G; 充分性，?a,b?G,?c?G，使得
2aN?bN?cN?ab?cN?(ab)N?cN?aN?bN?(ab)N
??a?G,n?N,(an)(a?1n)?aN?a?1N?(aa?1)N?N，
?1所以ana?N，故N?G。
19.假定～是一个群G的元间的一个等价关系，并且对于G
的任意三个元a,x,y来说，有ax～ay?x～y。
证明：与G的单位元e等价的元所作成的集合G的一个子群。
证明：设H=[e],由于～是等价关系，故e～e,即e?H;?a,b?H,则a～e, b～e因而ae～aa?1, be～bb?1,由题设可得e～a?1, e～b?1,由对称性及传递性得b?1～
a?1,a?1ab?1～a?1e,再由题设得ab?1～e即ab?1?H,那么与G的单位元e等价的元所
作成的集合G的一个子群
20.一个群G的可以写成abab形式的元叫做换位子,证明：
(1)所有有限个换位子的乘积组成的集合C是G的一个不变子群,称为G的导群或换位子群；
提示 由于e?eeee,e?C；C的两个元的乘积仍是有限个换位子的乘积,因而仍是C的一个元；一个换位子的逆仍是一个换位子,所以C的一个元的逆仍是的C一个元,这样
?1?1?1?1C是G的一个子群；对于a?G,c?C,aca?1?(aca?1c?1)c?C，所以C是G的一个不
变子群.
(2)G／C是交换群；
?1?1?1令a,b?G,那么(ba)ab?abab?c?C,由此得abC?baC,即
aCbC?bCaC,因而G／C是交换群.
(3)若N是G的一个不变子群，并且G/N是交换群，那么N?C. 提示 因为G/N是交换群,所以对G的任何两个元a和b,
(aN)(bN)?(bN)(aN) ,由此得(ba)?1(ab)?a?1b?1ab?N,这样N含有一切换位子,因
而N含有C.
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