41.假定R[x]是整数环R上的一元多项式, (1)写出R[x]的理想(2,x)所含元素形式.
提示 因为R[x]是有单位元的可换环,所以(2,x)由所有形如:
2p1(x)?xp2(x),(p1(x),p2(x)?R[x])
的元作成,即(2,x)刚好包含所有多项式:
2a0?a1x???anxn,(ai?R,n?0).
(2)证明: (2,x)不是主理想.
提示 假定(2,x)是主理想,即(2,x)?(p(x))那么2?(p(x)),x?(p(x)),因而 2?q(x)p(x),x?h(x)p(x)但由2?q(x)p(x),可得p(x)?a?R,即
a??1, x?h(x)a
这样?1?p(x)?(2,x)是矛盾的.
(3)证明:若R是有理数域,那么(2,x)是一个主理想. 提示 若R是有理数域,那么R[x]包含有理数
11,于是2?1?(2,x),因而它的理想22(2,x)含有单位元1,因此(2,x)等于主理想(1).
42.环R上的一个一元多项式环R[x].当R时整数环时, R[x]的理想(x)是不是最大理想？当R是有理数域的时候,情形如何?
提示 考察R[x]的理想(2,x),由于(x)的元都可以写成xf(x)的形式,其中
f(x)?R[x],所以显然有(x)?(2,x),2?(x),(x)?(2,x).
当R是整数环时, (2,x)不是一个主理想,因而(2,x)?(1)?R[x],因此(x)不是一个最大理想.
当R是有理数域时,设N是的一个理想并且(x)?N,(x)?N,那么有
f(x)?a0?a1x???anxn?N,a0?0),由此得f(x)?a1x???anxn?a0),因此
1a0?1?N,因而N?(1)?R[x],这就是说,在这一情形下(x)是一个最大理想. a0
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43. 假定R是偶数环,
(1)证明:所有整数4r(r?R)是的一个理想N．等式N?(4)对不对？ 提示 显然N非空,令4r1,4r2是N的任意两个元,由于偶数减偶数还是偶数， 所以4r1?4r2?4(r1?r2)?N,令r是R的任意元,由于偶数乘偶数还是偶数,所以
r(4r1)?4(rr1)?N,因此N是R的一个理想.由于4?(4)?{4n|n是整数},而4?N,所
以N?(4).
(2)证明:(4)是R的最大理想,但R/(4)不是一个域.
由于(4)刚好含有一切4n,这里n是整数 .设M是R的一个理想,并且
(4)?M, (4)?M,那么有2m?M,2m?(4),由此有2m?4q?2,2m?4q?2?N,
则N?(2)?R,这就是说(4)是R的最大理想；
R/(4)不是域，因为在R/(4)中[2]\\[0],而[2][2]?[4]?[0],因此R/(4)有零因子,因而R/(4)不
是
一个域.
44. 证明：有理数域Q是所有复数a?bi，其中a,b是有理数，作成的域R(i)的唯一的真子域。
提示: 设F是域R(i)的一个真子域，由于有理数域Q是最小数域，则Q?F；若Q?F，
?1则存在a?bi?F,b?0。于是i?b((a?bi)?a)?F，所以F?R(i)矛盾，从而有理数
域Q是R(i)的唯一的真子域。
45.设有理数域F上的全部2?2矩阵环为F22.证明: F22只有零理想同单位理想,但不是一个除环.
提示 设N是F22的一个理想并且N?{0},那么N含有2阶矩阵A?0. 若A的秩是2,那么A有逆A,而AA????1?1?10???E?N,此时N?F22； ??01??10????N,又 00??若A的秩是1,则存在可逆矩阵P和Q,使得PAQ????01??10??01??00???10????00????10?????01???N ????????
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因此 ???10??00??????E, ????00??01?因而也有N?F22,这就是说F22只有零理想同单位理想,但
?10??00??00???00????01?????00??, ??????所以F22又零因子,因而F22不是一个除环.
46．设R是一个环，令C(R)?{c?R|cx?xc,x?R}。 证明：C(R)是R的交换。
显然0?C(R)，从而C(R)??；又?c1,c2?C(R)，x?R，有c1x?xc1,c2x?xc2，于是(c1?c2)x?c1x?c2x?xc1?xc2?x(c1?c2)，
(c1c2)x?c1(c2x)?c1(xc2)?(c1x)c2?(xc1)c2?x(c1c2)
所以c1?c2，c1c2?C(R)，因此C(R)是一个交换子环。 设R是交换环，a?R，令Aa?{x?R|ax?0}，证明：Aa?R
显然Aa非空； ?x,y?Aa，即ax?ay?0，因此a(x?y)?ax?ay?0?0?0，所以x?y?Aa；令r是R的任意元,a(rx)?r(ax)?r0?0 , 所以rx?Aa，由于R是交换环，所以xr?Aa，因此Aa是R的一个理想。
47. 在特征是素数的域里，有等式(a?b)?a?b，(a?b)?a?b，?a,b?F。 由二项式定理，(a?b)?a?Cpapp1p?12p?22p?1b?Cpab???Cpabp?1?bp，其中 ppppppCip?p(p?1)?(p?i?1)ip?ii，i?1,2,?,p?1都是p的倍数，从而Cpab?0，因此
i! (a?b)p?ap?bp，并且ap?[(a?b)?b]p?(a?b)p?bp，于是(a?b)p?ap?bp。
48.假定有一个环R的分类,而S是由R所有的类[a],[b],[c],?作成的集合,又假定
[x]?[y]?[x?y],[x][y]?[xy]规定两个S的代数运算.
证明:[0]是R的一个理想,并且给定的类刚好是[0]模的R剩余类. 提示 设u,v?[0],r?R,那么
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[u]?[r]?[0];
[?u]?[?v]?[0]?[?v]?[v]?[(?v)?v]?[0]；
于是
[u?v]?[u]?[?v]?[0]?[0]?[0]； [ru]?[r][u]?[r][0]?[r0]?[0]； [ur]?[u][r]?[0][r]?[0r]?[0],
因此
u?v?[0],ru?[0],ur?[0],
故[0]是R的一个理想.
设[u]?[v],那么[u?v]?[u]?[?v]?[v]?[?v]?[0],因而u?v?[0]；u?v?[0],那么[u?v]?[0],
[v]?[0]?[v]?[u?v]?[v]?[(u?v)?v]?[u?0]?[u],
所以[u]?[v]当且仅当u?v?[0],这就是说给定的类刚好是[0]模的R剩余类.
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反之设