21．设f是群G到群G的满同态，N?G，N?f?????1(N)，则N?G并且GN?G??N?。
提示 设
?是G到G???NG???G?Gf??的自然映射，则f与的
?合成是G到G?N??满同态，
，x?f(x)?f(x)N
????N?f)?{x?G|(?f)(x)?N}={x?G|?(f(x))?N}?{x?G|f(x)N?N} 并且ker(?{x?G|f(x)?N}=N，因此由同态基本定理知，N?G并且GN?G???N?。
22．设?是群G到群G的一个同态满射，K?Ker?,H?G,则??1(?(H))?HK。 提示 ?hk?HK，?(hk)??(h)?(k)??(h)??(H)，因此hk???1(?(H))，即
?x???1(?(H))，有?(x)??(H)，存在h?H，使得?(h)??(x)，HK???1(?(H))；
因此?(hx)??(h)?(x)?e?K，存在k?K，使得h?1x?k,x?hk?HK，即
?1?1???1(?(H))?HK，因此??1(?(H))?HK。
23．设S3是三次对称群。
（1） 把S3的所有元素写成不相连的循环置换的乘积。
(2) 证明S3是阶数最小的不可换群。
提示1、S3?{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}; 利用拉格朗日定理及素数阶群一定是循环群。- 24. 设S3是3次对称群。
1．找出S3的所有子群； 2．找出S3的所有的不和(123)交换的元；
)}，则S生成的子群包含哪些元素？群S3的两个不同的子集3．取S3的子集S?{(12),(123合会不会生成相同的子群？
提示：1。子群：H1?{(1)},H2?{(1),(12)}
H3?{(1),(13)}},H4?{(1),(23)},H5?{(1),(123),(132)},H6?S3六个子群；
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2．(12),(13),(23)；3。(S)?S3；一个群的两个不同的子集合会生成相同的子群:
)},B?{(132)}，(A)?(B)?{(1),(123),(132)}。 如A?{(12325. 设G是一个阶大于1的群，证明：G只有平凡子群当且仅当G为素数阶循环群。 证明：充分性，由Lagrange定理知，显然成立。
提示 必要性，因为|G|?1，所以存在a?G,a?e。设H?(a)，则H?{e}，但是
H?G，由假设，H?G；若|a|??，则(a2)是G的非平凡子群，与假设矛盾；
若|a|?n是合数，即n?n1n2，n1?1,n2?1，则|a子群与假设矛盾。因此G为素数阶循环群。
26. 证明：循环群的子群是循环群.
提示: 设G?(a)是一个循环群，H?G。若H?{e}，则H?(e)；若H?{e}，则存在
n1|?n2，从而(an1)是G的非平凡
n?Z,n?0使得an?H，于是a?n?H，从而M?{n?P|an?H}是一个非空集合，
令r是M中的最小正整数。?a?H，设m?rq?t,0?t?r，则
mat?am?rq?am(ar)?q?H，由r最小性的假设可得t?0，于是m?rq，因而am?arq?(ar)q，因此H?(ar)。故得证。
27．设循环群G?(a),且|a|?n，证明：若正整数k整除n，则G恰有一个k阶子群。 证明：对n的每一个正因子k,，则|a|?k，令H?(a)，则H是G一个k阶子群；
mkm设M?(a)是G任一个k阶子群，则a?e，于是n|mk，因而
nknkn|m，从而k(a)?H?(a)，然而|H|?|M|，因而，M?H?(a)，从而G.
?28.证明：阶是pm的群G一定包含一个阶是p的子群，其中m?Z，p是素数.
mnknk提示：取a?G而a?e，则由Lagrange定理知，|a|?p，其中1?n?m，则a是p，所以H?(apn?1npn?1的阶
)是G的一个p阶子群。
29. 设A是集合。
1． 集合A上的二元关系满足什么条件时就是A上的等价关系？
2． 设A?{1,2,3}，A上的二元关系有几个？A上的等价关系有几个？A可分几类？
9提示1。反身性；对称性；传递性； 2。 2；A可分五类：?1?{{1},{2},{3}}；
?2?{{1,2},{3}}；?3?{{1,3},{2}}；?4?{{2,3},{1}}；?5?{{1,2,3}}；由集合的分类
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决定等价关系知，A上的等价关系有5个。
30. 证明：在一个没有零因子的环R里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。 提示：如果R里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是无限大，那么结论成立；假定R中
的某个元a的阶是有限整数，而b是环R里任意不等于零的元，那么由
*(na)b?a(nb)?0及R是无零因子的环知nb?0，所以b的阶?a的阶，同理a的阶
?b的阶，即有a的阶?b的阶，从而结论得证。
31.环R叫Boole环是指a2?a,?a?R。证明：每个Boole环都是交换环并且
a?a?0,?a?R。
提示：?a?R,a?a2?(?a)2??a，所以a?a?0,?a?R；
由于?a,b?R,(a?b)2?a2?b2?ab?ba?a?b，即有ab?ba?0,ab?ba。 32给出环R与它的子环S的例子,使它们分别具有以下性质:
1. R具有单位元素,S无单位元素; 2. R无单位元素,S具有单位元素; 3. R、S都有单位元素,但不相同; 4. R无单位元素,S无单位元素; 5. R不交换,S交换； 6. R有零因子,S无零因子.
提示：1。R?(Z,?,?),S?(2Z,?,?)，R的单位元是1，关于数的普通加法和普通乘法；
2。R?{???ab??a0??10?S?????，，的单位元是，关于矩阵|a,b?Q}S?{|a,b?Q}??????00??00??00?的普通加法和普通乘法；
?ab??a0??10?R?????3。R?{?，S的|a,b,c,d?Q}，S?{?|a,b?Q}，的单位元是??????cd??00??01?单位元是???10??，关于矩阵的普通加法和普通乘法；4。R?2Z,S?4Z，关于数的普通??00??ab??a0?加法和普通乘法；5． R?{??cd??|a,b,c,d?Q}，S?{??0a??|a?Q}，关于矩阵的
????普通加法和普通乘法； 6。 R?{???ab??a0????，|a,b,c,d?Q}S?{|a?Q}，关于矩阵的普通加法和普通乘????cd??0a?法。
33.找出模6的剩余类环的所有理想.
提示 Z6的所有理想有4个,它们为:{0},{0,3},{0,2,4},Z6.
34.Z3是模3的剩余类所作成的集合。找出加群Z3的所有自同构映射，再找出域Z3的所有
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自同构映射。
提示：对加群Z3的自同构映射，自同构映射必保持零元，所以有2个自同构映
射,?1:i?i,i?0,1,2; ?2:0?0,1?2,2?1.
对域Z3的自同构映射，自同构映射必保持零元和单位元，所以有1个自同构映
射,?1:i?i,i?0,1,2;
35. 写出Z20的所有理想和最大理想。
提示：Z20的理想：H1?{[0]]，H2?Z20，H3?{[0],[4],[8],[12],[16]}
H4?{[0],[2],[4],[6],[8],[10],[12],[14],[16],[18]}，
H5?{[0],[5],[10],[15]}，
H6?{[0],[10]}； Z20的最大理想：H5?{[0],[5],[10],[15]}， H4?{[0],[2],[4],[6],[8],[10],[12],[14],[16],[18]}
36.找出环Z8的所有可逆元与零因子，并给出它的所有子环和最大理想。
提示：Z8的可逆元为：[1],[3],[5],[7]；Z8的零因子：[2],[4],[6]；子环：H1?{[0]]，
H2?Z8，H3?{[0],[2],[4],[6]}，H4?{[0],[4]}； Z8的最大理想：H3?{[0],[2],[4],[6]}。
37. 证明:有限整环是一个域.
提示 设R是一个有限整环,任取a?R,能证a存在即可.
考虑R到R的映射f:x?ax,此处x是R的任意元．由于R中乘法消去律成立，故
*?1x1?x2?ax1?ax2.设R含有n个元,那么f(R)?{ax|x?R}也含有n个元,故
f(R)?R,即f是R到R的一个双射,从而存在x?R,使得ax?1,即x?a?1,故有限整
环R是一个域.
38. 证明：一个除环R的中心是一个域.
提示：显然0,1?C(R)，从而C(R)??；又?c1,c2?C(R)，?x?R，有
c1x?xc1,c2x?xc2，于是(c1?c2)x?c1x?c2x?xc1?xc2?x(c1?c2)，
(c1c2)x?c1(c2x)?c1(xc2)?(c1x)c2?(xc1)c2?x(c1c2)；?c?C(R)*，?x?R，即
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cx?xc，所以，cxc?1?xcc?1?x，xc?1?c?1x，
所以c1?c2，c1c2，c?1?C(R)，显然C(R)是交换子群，因此C(R)是域。
39.假定R是由所有复数a?bi(a,b是整数)作成的环,
(1)环R/(1?i)有多少元? (2) 证明: R/(1?i)是一个域. 提示 R是一个有单位元的可换环,那么理想(1?i)的元素形式为
(a?bi)(1?i)?(a?b)?(a?b)i,注意到a?b,a?b同奇偶性；而且对任意的x?yi?R,
且x，y的奇偶性相同,设a?b?x,a?b?y,即a?因此(1?i)由一切x?yi组成,其中x，y同奇偶性；
由此可见对任意的x?yi?R,只要x，y同奇偶性,恒有x?yi?(1?i)?(1?i)；若
x?yy?x,b?,则x?yi?(1?i),22x?yi?R,且x，y奇偶性不相同,恒有x?yi?(1?i)?1?(1?i),即R/(1?i)?{0,1},从
而R/(1?i)是仅含有两个元的域,即R/(1?i)?Z2.
40.假定F是一个四个元的域．证明：
(1)F的特征值是2
提示 F的特征p是F非零元的周期,并且p是一个素数；F作为加群的阶是4,且
p|4,因此p?2.
(2) F的不为0或1的两个元都适合方程x?x?1.
2提示 乘群F的阶是3,因而是一个循环群(a),而F的元是1,a,a,这样,其
**2F?{0,1,a,a2}，加法运算表必为:
?01aa2001aa2110a2aaaa201a2a2a102
有a?1?a,a?1?a?(a)2222因
F的不等于0或1的两个元a,a都适合方程
x2?x?1.
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