课件园 http://www.kejianyuan.com
3．（2010 四川南充）如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E． （1）求证：△ABD∽△CED．
（2）若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．
A D B
【答案】（1）证明：∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠BAC＝∠ACB＝60°．∠ACF＝120°． ∵ CE是外角平分线， ∴ ∠ACE＝60°． ∴ ∠BAC＝∠ACE． 又∵ ∠ADB＝∠CDE，
∴ △ABD∽△CED．
（2）解：作BM⊥AC于点M，AC＝AB＝6． ∴ AM＝CM＝3，BM＝AB·sin60°＝33．
∵ AD＝2CD，∴ CD＝2，AD＝4，MD＝1． 在Rt△BDM中，BD＝BM?MD＝27．
22E F
C A M D B E F
C 由（1）△ABD∽△CED得，
BDAD27?2， ，?EDEDCD∴ ED＝7，∴ BE＝BD＋ED＝37．
4．（2010 浙江衢州）(本题10分)如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF
第 11 页 共 26 页
课件园 http://www.kejianyuan.com 的顶点都在方格纸的格点上．
(1) 判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
(2) P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3
个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由)．
B
P1 A
P2 P3 C
E
D
P5
F
P4
【答案】解：(1) △ABC和△DEF相似．
根据勾股定理，得 AB?25，AC?5，BC=5 ； DE?42，DF?22，EF?210．
ABACBC5， ???DEDFEF22∴ △ABC∽△DEF． (2) 答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可．
∵
B
P1 A
P2 P3 C
E
(第22题)
P4
D P5
F
△P2P5D，△P4P5F，△P2P4D， △P4P5D，△P2P4 P5，△P1FD．
5．（2010 河北）（本小题满分10分）在图15-1至图15-3中，直线MN与线段AB相交 于点O，∠1 = ∠2 = 45°．
（1）如图15-1，若AO = OB，请写出AO与BD
的数量关系和位置关系；
（2）将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到
图15-2，其中AO = OB． 求证：AC = BD，AC ⊥ BD；
（3）将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到
图15-3，求
BD的值． AC
第 12 页 共 26 页
课件园 http://www.kejianyuan.com M D 2 O 1 N
B
A 图15-1
D 2 O M
A
1 C 图15-2
B
N
D 2 O 1 C 图15-3
B
M
A
N
全品中考网
【答案】
解：（1）AO = BD，AO⊥BD；
（2）证明：如图4，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠ACO = ∠BEO．
又∵AO = OB，∠AOC = ∠BOE，
D 2 A N
O E 1 C 图4
M
∴△AOC ≌ △BOE．∴AC = BE． 又∵∠1 = 45°， ∴∠ACO = ∠BEO = 135°．
B F
∴∠DEB = 45°．
∵∠2 = 45°，∴BE = BD，∠EBD = 90°．
∴AC = BD．
延长AC交DB的延长线于F，如图4．∵BE∥AC，∴∠AFD = 90°．
∴AC⊥BD．
（3）如图5，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠BEO = ∠ACO．
又∵∠BOE = ∠AOC ，
D M 2 O A N
1 C 图5 E B 第 13 页 共 26 页 ∴△BOE ∽ △AOC． 课件园 http://www.kejianyuan.com ∴
BEBO． ?ACAO又∵OB = kAO，
由（2）的方法易得 BE = BD．
∴
BD?k． AC 6．（2010 广东珠海）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E， 连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B. (1) 求证：△ADF∽△DEC
(2) 若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC AB∥CD
∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180° ∵∠AFE+∠AFD=180 ∠AFE=∠B ∴∠AFD=∠C ∴△ADF∽△DEC
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC CD=AB=4
又∵AE⊥BC ∴ AE⊥AD 在Rt△ADE中，DE= ∵△ADF∽△DEC ∴
AD2?AE2?(33)2?32?6
33AFADAF? ∴ AF=23 ?64DECD7．（2010湖北武汉）已知线段OA⊥OB，C为OB上中点，D为AO上一点，连AC、BD
交于P点．
（1）如图1，当OA=OB且D为AO中点时，求（2）如图2，当OA=OB，
AP的值； PCAD1=时，求tan∠BPC； AO4（3）如图3，当AD∶AO∶OB=1∶n∶2n时，直接写出tan∠BPC的值．
第 14 页 共 26 页
课件园 http://www.kejianyuan.com B
AAADPPDPDCOBCOBCO图 1
图 2
图 3
【答案】（1）过C作CE∥OA交BD于E，证△BCE∽△BOD得CE=△ECP∽△DAP得
11OD=AD；再证22APAD（2） 过C作CE∥OA交BD于E，设AD=x，AO=OB=4x，??2；
PCCE13PDAD2则OD=3x，证△BCE∽△BOD得CE=OD=x，再证△ECP∽△DAP得??；
22PECE35PD2由勾股定理可知BD=5x，DE=x，则?，可得PD=AD=x，则∠BPC=∠DPA=
2DE?PD3∠A，tan∠BPC=tan∠A=
nCO1． ?； (3)nAO2
8．（2010江苏淮安）如题28(a)图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(12，0)，点B坐标为(6，8)，点C为OB的中点，点D从点O出发，沿△OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度／秒的速度运动一周．
(1)点C坐标是( ， )，当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是( ， )； (2)设点D运动的时间为t秒，试用含t的代数式表示△OCD的面积S,并指出t为何值 时，S最大；
(3)点E在线段AB上以同样速度由点A向点B运动，如题28(b)图，若点E与点D同时 出发，问在运动5秒钟内，以点D，A，E为顶点的三角形何时与△OCD相似(只考虑以 点A．O为对应顶点的情况)：
题28(a)图 题28(b)图
第 15 页 共 26 页