第12章 机械振动 习题及答案
1、什么是简谐振动？哪个或哪几个是表示质点作简谐振动时加速度和位移关系的？ （1）（2）
；(3)
；(4)
.
；
答：系统在线性回复力的作用下，作周期性往复运动，即为简谐振动。 对于简谐振动，有
,故（3）表示简谐振动。
2、对于给定的弹簧振子，当其振幅减为原来的1/2时，下列哪些物理量发生了变化？变化为原来的多少倍？
（1）劲度系数；（2）频率；（3）总机械能；（4）最大速度；（5）最大加速度。 解：当
时，
（1）劲度系数k不变。 （2）频率不变。
（3）总机械能
（4）最大速度
(5) 最大加速度
3、劲度系数为k1和k2的两根弹簧，与质量为m的小球按题图所示的两种方式连接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期．
解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有F?F1?F2，设串联弹簧的等效倔强系数为
K串等效位移为x，则有
F??k串xF1??k1x1
1
F2??k2x2
又有 x?x1?x2
x?所以串联弹簧的等效倔强系数为
FFF?1?2 k串k1k2k串?k1k2
k1?k2即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为k?k1k2/(k1?k2)的弹簧振子系统，故小球作谐振动．其振动周期为
T?2???2?m(k1?k2)m?2? k串k1k2(2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有F?F1?F2，即x?x1?x2，设并联弹簧的倔强系数为k并，则有 k并x?k1x1?k2x2 故 k并?k1?k2 同上理，其振动周期为
T??2?4. 完全相同的弹簧振子，
m
k1?k2 时刻的状态如图所示，其相位分别为多少？
k k m (b)
vm (a)
vm (c)
k k m (d)
2
解：对于弹簧振子， （a） （b）
,故 ，故 ，故
时，
,
，故
（c） ，故
，故
（d）
,故 ，故
5、如图所示，物体的质量为m，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为?，弹簧的倔强系数为k，滑轮的转动惯量为I，半径为R。先把物体托住，使弹簧维持原长，然后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期．
沿斜面向下为x轴正向，则当重物偏离原点的坐标为x时，有
解：分别以物体m和滑轮为对象，其受力如题图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，
d2xmgsin??T1?m2 ①
dtT1R?T2R?I? ②
d2x?R? T2?k(x0?x) ③ 2dt式中x0?mgsin?/k，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有
Id2x(mR?)2??kxR
Rdt
3
kR2令 ?? 2mR?I2则有
d2x2??x?0 2dt故知该系统是作简谐振动，其振动周期为
mR2?Im?I/R2T??2?(?2?) 2?KkR2?6、质量为10?10kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x?0.1cos(8??求：
(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值； (2)最大的回复力、振动能量，在哪些位置上动能与势能相等?
?32?)3(SI)的规律作谐振动，
?t??0)，则知： 解：(1)设谐振动的标准方程为x?Acos(A?0.1m,??8?,?T?2?1?s,?0?2?/3 ?4?1?1又 vm??A?0.8?m?s ?2.51m?s
am??2A?63.2m?s?2
(2) Fm?mam?0.63N
E?当Ek?Ep时，有E?2Ep， 即
12mvm?3.16?10?2J 212112kx??(kA) 22222A??m 220∴ x??7、一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示．如果t?0时质点的状态分别是：
(1)x0??A；
(2)过平衡位置向正向运动； (3)过x?A处向负向运动； 24
(4)过x??A2处向正向运动．
试求出相应的初位相，并写出振动方程．
?x0?Acos?0解：因为 ?
v???Asin?0?0将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有
?1???2???3??4?8. 物体沿x轴作简谐振动，在度
,试求：
32?35?42?x?Acos(t??)
T2?3x?Acos(t??)
T22??x?Acos(t?)
T32?5x?Acos(t??)
T4 ,速度
,加速
时刻，其坐标为
（1）弹簧振子的角频率和周期； （2）初相位和振幅。 解：设
，则
时
(1)
(2) A?x?202v0?020.00922?0.085??8.5 cm 223.52tan???v0?0.0092????0.00461 ?0x023.5?(?0.085)5