21.（本题满分15分）设函数f(x)?a2lnx?x2?ax,a＞0 （I）求f(x)的单调区间
，e?恒成立. （II）求所有实数a，使e?1≤f(x)≤e2对x??1注：e为自然对数的底数.
【测量目标】函数的单调性、导函数的基本概念.
【考查方式】根据导函数求出单调区间；根据e?1≤f(x)≤e2列出不等式组求出a. 【试题解析】（Ⅰ）解：因为f(x)?a2lnx?x2?ax，其中x＞0，
a2(x?a)(2x?a)?2x?a??所以f?(x)?. (步骤1) xx由于a＞0，所以f(x)的增区间为(0，a),
+?) (步骤2) 减区间为(a，≥c?1，即a≥c. (步骤3) （Ⅱ）证明：由题意得， f(1)?a?1，e?恒成立，要使e?1≤f(x)≤e2对x??1，e?恒成立， 由（Ⅰ）知f(x)在x??1?f(1)?a?1≥e?1 只要?，解得a?e. (步骤4) 222?f(e)?a?e?ae≤e
22．（本大题满分15分）如图，设P为抛物线C1：x?y上的动点.过点P做圆C2:x?(y?3)?1的两条切线，交直线l：y??3于A,B两点. （Ⅰ）求C2的圆心M到抛物线 C1准线的距离.
（Ⅱ）是否存在点P，使线段AB被抛物线C1在点P处得切线平分，若存在，求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由.
【测量目标】点、直线、抛物线、圆的位置关系与标准方程.
【考查方式】根据抛物线标准方程列出准线方程，然后求出C2到准线距离； 根据题意列出方程，把各点坐标代入证明结果是否成立. 【试题解析】
222
（Ⅰ）解：由题意可知，抛物线C1的准线方程为：y??1. 4111所以圆心M到抛物线C1准线的距离为|??(?3)|?. (步骤1)
44 （Ⅱ）解：设点P的坐标为，抛物线C1在点P处的切线交直线l于点D. （x0，x02）再设A,B,D的横坐标分别为xA,xB,xD. 过点P(x0,x02)的抛物线C1的切线方程为：
y?x02?2x0(x?x0). （1） (步骤2)
当x0?1时，过点P（1,1）与圆C2的切线PA为：y?1?可得xA??1,xB?15(x?1). 817,xD??1,xA?xB?2xD. 15所以x02?1?0. (步骤3)
设切线PA、PB的斜率为k1,k2，则
PA:y?x02?k1(x?x0), （2）
PB:y?x02?k2(x?x0), （3） (步骤4)
将y??3分别代入（1），（2），（3），得
x02?3x02?3x02?3xD?(x0?0),xA?x0?,xB?x0?(k1,k2?0)
2x0k1k2从而xA?xB?2x0?(x0?3)(211?). (步骤5) k1k2又|?x0k1?x02?3|k1?12?1
即(x02?1)k12?2(x02?3)x0k1?(x02?3)2?1?0.
同理(x02?1)k22?2(x02?3)x0k2?(x02?3)2?1?0 . (步骤6)
所以k1,k2是方程(x02?1)k2?2(x02?3)x0k?(x02?3)2?1?0的两个不相等的根，从而
2x0(x02?3)(x02?3)2?1, k1?. (步骤7) k1?k2?k2?x02?1x02?1因为xA?xB?2x0
x02?311111所以2x0?(3?x0)(?)?,即??. (步骤8)
k1k2x0k1k2x022(3?x02)x01从而?. 22(3?x0)x0进而得x04?8,x0??48. 综上所述，存在点P满足题意，点P的坐标为(?48,22). (步骤9)