21．（本小题满分12分）已知函数f(x)?ax2?bx?1(a,b为实数），F(x)?? （1）若f(－1) = 0且对任意实数均有f(x)?0成立，求F(x)表达式；
?f(x)(x?0)??f(x)(x?0)
（2）在（1）的条件下，当x?[?2,2]时,g(x)?f(x)?kx是单调函数，求实数k的取值范
围；
（3）设mn?0,m?n?0,a?0且f(x)为偶函数，判断F(m)?F(n)能否大于0.
22．（本小题满分14分）已知函数f(t)对任意实数x、y都有f(x?y)?f(x)?f(y)? 3xy(x?y?2)?3,f(1)?1.
⑴若t为自然数，试求f(t)的表达式；
⑵满足条件f(t)= t的所有整数t能否成等差数列？若能构成等差数列，求出此数列；若
不能构成等差数列，请说明理由；
⑶若t为自然数，且t≥4时，f(t)?mt2?(4m?1)t?3m恒成立，求m的最大值.
答案
一、选择题 题号 1 答案 B 二、填空题 三、解答题
2 B 3 D 4 D 5 B 6 B 7 C 8 C 9 C 10 A 11 D 12 B 13．{x|x??3或x?4}； 14．a?2； 15．155； 16．1
?x??1?x?1?01??x??(a?1)1???17．解：原不等式??ax?1?0(a?1) ??x??(a?1)??aa???x[x?(a?2)]?0(a?1)2??(x?1)?ax?1?3分??x[x?(a?2)]?0……（理6分） （文8分） ①∴a=2时,不等式的角为x>?1a;……（理8分） （文10分）
②a>2时,a－2>0, 故原不等式解为?1a ③当1 1a 18．解：（1）由f(a)?f(b)得|lga|?|lgb|,?0?a?b,?lga?lgb只能lga??lgb即lgab?0 ?ab?1,又0?a?b,?0?a?1?b……6分 （2）由f(b)?2f(由于a、b为正数，?22a?b2)得|lgb|?2|lga?b2,则b?(a?ba?b2?ab?1则lgb?0,lg2a?b2?0,?lgb?2lg2a?b2| 2 )， 即4b?b?a?2,又0?a?1,?2?4b?b?3…………12分 x?2?019．解：（1）由x?2?0?x?2或x??2 又?又p?2?2?x?p,故f(x)与g(x)的公共定义域为?x?2?p?x?0（2，p）……4分 （2）F(x)?f(x)?g(x)?log242[(x?2)(p?x)] ??(x?p?22)?(2 ?log[?(x?p?2)2?(p?2)2](2?x?p)……6分 令u(x)2 ?p?2,?p?p?2,抛物线u(x)的对称轴x2?p?22p?24)2 （i）当p＞6时，p?2?(2,p) 2?0?u(x)?(p?2) 值域为(??,2log422(p?2)?2]……9分 （ii）当2＜p≤6时， 即 p?22?2,u(x)在(2,p)上有0?u(x)?4(p?2)?g(x)?log2[2(p?2)]?1?log2(p?2) ∴值域为(??,2?2log2(p?2)]…12分 20．解：设楼高为n层，总费用为y元，则征地面积为2.5Am2，征地费用为5970A元，楼层建筑费用为 nn[445+445+（445+30）+（445+30×2）+…+445+30×（n－2）]· 5970An30An6000nAn?(15n?30n?400)A元，故 y??15nA??400A?(15n?6000 ?400)A?1000A（元）仅当15n?n即n=20（层）时，总费用最少为1000A元…………12分 21．解：（1）∵f(?1)?0 ∴b =a +1，由f(x)?0恒成立知： △?b2?4a?(a?1)2?4a?(a?1)2?0 …2分 2?(x?1)(x?0) ?a?1从而f(x)?x2?2x?1 ?F(x)???2……3分 ???(x?1)(x?0)2?g(x)?f(x)?kx?x?(2?k)x?1 （2）由（1）知： f(x)?x2?2x?12由g(x)在[?2,2]上是单调函数知?2?k??2或?2?k?2……5分 2得k??2或k?6 ……6分 （3）?f(x)为偶函数 ?f(?x)?f(x)而a?0,?f(x)在[0,??)为增函数对于F(x),当x?0时,?x?0, F(?x)??f(?x)??f(x)??F(x)……7分 当x?0时,?x?0,F(?x)?f(?x)?f(x)??F(x) ?F(x)是奇函数，且F(x)在[0,??)上为增函数……8分 由mn?0知,m,n异号，①当m?0,n?0时,由m??n?0知F(m)?F(?n)??F(n) ?F(m)?F(n)?0……10分 ②当m?0,n?0时,由n??m?0知F(n)?F(?m)??F(m) ?F(m)?F(n)?0……11分 综上可知?F(m)?F(n)?0 即?F(m)?F(n)可大于0……12分 22．解：（1）?f(x?y)?f(x)?f(y)?3xy(x?y?2)?3?f(t?1)?f(t)?f(1)?3t2?9t?3 ……1分 当t为自然数时，让t从1，2，3，……t－1取值有 f(t)?[f(t)?f(t?1)]?[f(t?1)?f(t?2)]???[f(2)?f(1)]?f(1)?3[(t?1)?(t?2)???1]?9[(t?1)?(t?2)???1]?4(t?1)?1 22?f(t)?3?(t?1)t(2t?1)62?9?t(t?1)23?4(t?1)?1?t?3t?3232当t为自然数时，f(t)的解析式为f(t)?t?3t3?3,t?N……5分 （2）当t?N时, f(t)?t?3t?3当t=0时，在f(x?y)?f(x)?f(y)?3xy(x?y?2)?3中，令 x?y?0知f(0)?f(0)?f(0)?3得f(0)??3当t?Z时,?t?N,由f(x?y)?f(x)?f(y)?3xy(x?y?2)?3知 f(t?t)?f(t)?f(?t)?6t2?3?f(0)??3得 232232f(t)??f(?t)?6t?6??[(?t)?3(?t)?3]?6t?6?t?3t?3综上所述，当t?Z时, ?f(t)?t?3t?3 ……8分 ?f(t)?t,?t?3t?3?t?t1?1,t2??1,t3??3 t1?t3?2t2?1?3?2(?1)?0 ?3232t1,t2,t3成等差数列，此数列为1，－1，－3或－3，－1，1…10 2分 （3）当t?N时，f(t)?t3?3t2?3，由f(t)?mt?(4m?1)t?3m恒成立知 322t?3t?t?3?m(t?4t?3)?(t?1)(t?1)(t?3)?m(t?1)(t?3)?t?4?(t?1)(t?3)?0?t?1?m恒成立 ?m?3 ∴m的最大值是3 ……14分