第一部分：极限与连续
提示：用子列方法
提示：平方差分解因式，尽量约分.
提示：
，
(l可以是有限数，+?，-?,但不可以是一般的?）习题一：计算数列极限
2n-1??13lim??2???n?n??222?; ?1．
提示：这是一个等比数列与一个等差数列对应项相乘产生的数列之和，本质上是幂级数求和问题。复习幂级数求和的方法（一些逐项运算技巧）。更一般的问题是
??rn?1n(a?(n?1)d)(d?0,r?0) 会收敛吗？这个幂级数当r?1 时，收敛.
1
132n?1lim????2n; 2． n??24提示：0?In??In?In?1?3?5?(2n?1)2?4?6?(2n)1 ??2?4?6?(2n)3?5?7?(2n?1)2n?11?3?5?(2n?1) 的话，用定积分
2?4?6?2n如果你能想起
?20sin2nxdx?
也是一种不错的方法.
与上题不同，本题?xn?? 有下界，xn?1?上一题中，?xn?? 有下界，xn?1?n?5xn，用递推方法可求出极限. 2n?12n?1xn ，用递推方法求不出极限.
2n?2由此可见，不是所有递推的数列，用递推方法都可以求出极限的. 3.
111lim(1????)nn??2n
11???是无穷大. 2n提示：取对数后，用Stolz定理，并注意n?? 时，1?答案：取对数后的极限等于零.
（这个公式你能证明吗？）再取对数，就更简单了.
?enlnnn4. lim；lim；lim?,(??0)；
n??nn??n!n??en提示：象这种极限，可考虑级数收敛的必要条件，及洛必达法则，只是注意，不能直接对数列求导数.这几个极限，用Stolz定理，不起作用.前两个用递推方法也可做出.
n(nn?1)5． limn??lnn
n(nn?1)(nn?1)lim?limn??n??lnnlnnn 提示：
??作一个代换，再用洛必达法则.
6． lim?n???12?n?1?1n2?2?????2n?n? 12
提示：夹逼定理 7.
12?32???(2n?1)2lim2n??2?42???(2n)2
提示：用Stolz定理 8.
提示：通分后用Stolz定理 习题二：证明数列极限
?13?23???n3n?lim???3n??n4??
1． 证明:若单调数列{an}含有一个收敛的子列,则{an}一定是收敛数列. 提示：注意单调，用单调及有一个子列收敛，能否说明数列有界？ 2．设liman?a,(a可以为+?)，证明：
n??（1）lima1???an?a，又问：它是逆命题是否成立？
n??nlimna1a2???an?aa?0（2）若n，则n??。
提示：用Stolz定理，第（2）小题，先取对数.
3：用Stolz定理证明以下极限
（1）
n??limnnn!?e；(分子、分母换个位，再取对数)
1?2?????n?lim?1n??n（2）
ln(n!)nn?!?? ???， lim（3） limn??n??nbn?1?a ?bn?0?limnbn?an??bv（4）若，则n??；
liman?dlim?an?an?1??dn??nn??（5）若，则有
lim4．已知xn?sinxn?1,n?1,2,?,xo?(0,?),求证：limn??nxn?13
提示：设
yn?n1???21 ，证明xn，用Stolz定理及洛必达法则.
2xn 5．设a?0,k?0,a1?且等于k
1?k?1?k?，一般地a?a?a? n?1???na?，证明数列?an?极限存在22?a?n?? 3
6. 记bn?1?11????lnn，证明{bn}收敛 2n11提示：用拉格朗日中值定理证明?bn?? ;bn?1?????lnn?2n 顺便我们也证明了：7. 设a1?2,a2?2??n?111dx?lnn?0.x
bn?1?11????lnn?O(1)?o(n)(n??) 2n.
11,?,an?1?2?,证明此数列收敛并求极限。 a1ann??提示?a2n??,?2 ，可知lima2n 存在，求出lima2n?A?1?2，再考虑lima2n?1
n??n??8、设x?0 时，f(x)~x ，xn??2i?1?xn?a f?2a?,a?0，证明lim?n???n?i?12i?1a ?2i?1nnn提示 xn 结构较麻烦，极限值a 可否写成与xn类似的结构（拟合法）a???2i?1?2i?1?xn?a???f?2a??2a?
?ni?1??n?n?n2i?1???2a??i?1n???2i?1??f?2a???n??1? 2i?1?a2?n??2i?1?f?2a??n??1?? 就可以。
上式当n 充分大后，其绝对值会任意小的正数? 吗？只要
2i?1aa2n习题三、确界与上、下极限、聚点问题
1. 设A、B皆为非空有界数集,定义数集A+B={z|z=x+y,x∈A,y∈B}. 证明:(1)sup(A+B)=supA+supB; (2) inf(A+B)=infA+infB. 2. 设f，g为D上的有界函数，证明：
(1) inf{f(x)?g(x)}?inff(x)?supg(x)
x?Dx?Dx?D (2) supf(x)?infg(x)?sup{f(x)?g(x)}
x?Dx?Dx?Dx?I3. 设f在区间I上有界，记M?supf(x)，m?inff(x)，证明：
x?Isup|f(x')?f(x\)|?M?mx',x\?I
叙述?为点集S聚点的定义：
1）设S为数轴上的点集，?为定点（它可以属于S，也可以不属于S）．若?的任何邻域内都含有S中无穷多个点，则称?为点集S的一个聚点．
4
2) 对于点集S，若点?的任何?邻域内都含有S中异于?的点，即U?(?;?)?S??，则称?为S的一个聚点．
3)若存在各项互异的收敛数列?xn??S，则其极限limxn??称为S的一个聚点．
n??叙述?不是点集S聚点的定义：
?不是S的聚点?存在?0?0，设S是数集，在U(?;?0)中至多包含S中有限多个点．
致密性定理：有界无穷数集一定有聚点.
有界数列的上极限，就是数列中最大的聚点，下极限就是数列中最小聚点. 无上界数列的上极限是正无穷大，无下界数列的下极限是负无穷大. 数列{xn}的上(下)确界就是该数列的上(下)极限,对吗?为什么?
答：这个结论不一定正确.上确界不一定是聚点，可以是最大值;同样，下确界也不一定就是下极限.
4. 证明设{xn}为有界数列.
(1)A为{xn}上极限的充要条件是A=limsup{xk};
n??k?n(2)A为{xn}下极限的充要条件是 A=liminf{xk}.
n??k?n5. 求下列数列的上、下极限：
（1）{1+（-1）n}； （2）?(?1)??nn??； （3）{2n+1}； 2n?1??nπ?nπ?π??2n?n2?1n （4）?sin?； （5）?}sin?; (6)?|cos|?
3?n?14nn?????6. 证明下列数列上、下极限的关系式:
(1) liman=-lim(-an), liman=-lim(-an);
n??n??n??n??(2) liman+limbn≤lim(an+bn);
n??n??n??n??liman+limbn≥lim(an+bn)
n??n??n??n??(3) liman-limbn≤lim(an-bn),
n??n??liman-limbn≥lim(an-bn);
n??n??n??n??n??(4) 若an,bn>0,则limanlimbn≤limanbn,
n??limanlimbn≥limanbn;
n??n?? 5