(5) 若liman>0,则limn??n??11=. anlimann??7、若数列?xn? 有界、发散，则?xn?必存在两个收敛于不同极限的子列. 提示：用上、下极限说明. 习题四、函数极限
xxx??lim?lim[cosxcoscos2?cosn]??1.x?0n??222??1、证明
提示：在[?1,1]上，当x?0 时
xxxsin2x fn(x)?cosxcoscos2?cosn?x2222n?1sinn2?sin2x,x?0? ?limfn(x)??2xn???,x?0?02、证明哥西定理：设f为定义在?a,???上的函数，且在每一有限区间（a，b）内有限并满足x???lim?f?x?1??f?x???A，则有：
f?x??A.x???x（1）：
limil（2）：mx???()il???fxm1xf(x?)1(,()0)fx?c?x???f(x)（假定右端极限存在）
提示（1）比这个结论更一般的是函数极限的Stolz定理，至于结论（2），可对lnf(x) 用结论（1）证明.
Stolz定理 ：设T 为正常数，g(x),f(x) 在(a,??) 上满足 （1）g(x?T)?g(x) ，x?(a,??) ;
（2）limg(x)??? ，g(x),f(x) 在(a,??)的任意子区间上有界;
x???（3） limx???f(x?T)?f(x)?l
g(x?T)?g(x)则limx???f(x)?l (l 可以是??,?? ，有限实数，但不可以是一般的? ）. g(x) 6
事实上，由limx???f(x?T)?f(x)?l知，???0 ，?X?0 ，当x0?(X,X?T] 时，
g(x?T)?g(x)(l??)?g(x0?T)?g(x0)??f(x0?T)?f(x0)?(l??)?g(x0?T)?g(x0)?
(l??)?g(x0?2T)?g(x0?T)??f(x0?2T)?f(x0?T)?(l??)?g(x0?2T)?g(x0?T)???
(l??)?g(x0?nT)?g(x0?(n?1)T)??f(x0?nT)?f(x0?(n?1)T)?(l??)?g(x0?nT)?g(x0?(n?1)T)?将上面的式子相加得
(l??)?g(x0?nT)?g(x0)??f(x0?nT)?f(x0)?(l??)?g(x0?nT)?g(x0)?
对充分大的x ，令x?x0?nT ，而x0 只能在(X,X?T]中变动，代入上式得
(l??)?g(x)?g(x0)??f(x)?f(x0)?(l??)?g(x)?g(x0)?
以上不等式，当l??? 时，用任意大正数M 代替，l???时，用?M 代替. 再用条件（1）和（2）得到结论.
注1：Stolz定理中，l?? 时，结论不一定成立.这一点与数列一样. 以数列为例，xn?(?1)nn2,yn?n2 ，
?(?1)n?1(n?1)2?(?1)nn2?xnxn?1?xn ，但lim?? lim?lim??22n??n??yn??yn(n?1)?nn?1?yn注2：仿照函数的Stolz定理的证明方法，请证明数列的Stolz定理.
注：当函数满足洛必达法则条件时，条件（3）可由洛必达法则的条件得到
x???limf(x?1)?f(x)f??x????lim?l(0???1)，由Stolz定理可证明x??? 时x????g(x?1)?g(x)g(x??)的洛必达法则.
limf?x??A3．设函数f在?0,???上满足方程f?2x??f?x?且x???，证明：
f?x??A,x??0,???。
提示：?x?(0,??) ，f(x)?f(2x)?f(4x)???f(2x)?? 4、．设函数f在?0,???上满足方程fxn???f?x?且limf?x??limf?x??f?1?，证明：
2x?0?x???nf(x)?f(1),x?(0,??)
提示：x?(0,??) f(x)?f(x2)???f(x2),讨论.
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n?N. 以下 区分x?(0,1),x?1 分别
习题五：函数连续性
一、设f 只有可去间断点，定义g(x)?limf(y),证明g为连续函数.
y?x提示：要证明???0,???0 ，?x?U(x0,?),og(x)?g(x0)??
y?x证明：设f(x) 的定义域为D ，由于f 只有可去间断点，所以g(x)?limf(y)在D上有定义.?x0?D，若x0 是D的内点，设U(x0,?1)?D.
???0 ，由于g(x0)?limf(y) ，所以???(0,?1) ，当y?U(x0,?) 时，
y?x0of(y)?g(x0)??x?U(x0,?),oy?x?2 .
g(x)?g(x0)?limf(y)?g(x0)?limf(y)?g(x0)?y?x?2??
所以，g(x) 在x0 连续.（对于D的端点，只须考虑单侧区间，单侧极限）
重点内容：一致连续的判定
二．试用一致连续的定义证明，若函数f在[a，c]和[c，b]上都一致连续，则f在[a，b]上也一致连续
三．证明：函数f(x)?x,g(x)?cosx 均在?0,???上一致连续。
提示： [0,??)?[0,1]?[1,??)
四、若函数f（x）在区间I上满足李普希茨条件，即存在常数L，使得对I上任意的两点x?与x??，都有
f?x???f?x????L?x??x??
证明：f在I上一致连续。
五：若f(x) 在区间I （可以是任何形式的区间）上可导，导数有界，则f(x) 在区间I上可导满足李普希茨条件，从而f(x)在I上一致连续. 如：函数f(x)?sinx在R上一致连续
六、设f在[0,??)上连续，且limf(x)?A,证明：f在[0,??)上一致连续。（提示：用第
x???二题结论）
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问题：若limf?(x)??? ，则f(x) 在(??,b) 上不一致连续
x???
注：函数的连续性往往与它在一个稠密子集上的取值情况紧密相关.
f(xn)?f(x0)??0?f(x0) 或
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