§2.1 函数及其表示
1．函数与映射
两集合A、B 对应关系f：A→B 函数 设A，B是两个非空数集 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 y＝f(x)(x∈A) 映射 设A，B是两个非空集合 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 对应f：A→B是一个映射 名称 记法 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的定义域；将所有y组成的集合叫做函数y＝f(x)的值域．
(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (3)函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 4．常见函数定义域的求法
类型 2nf?x?，n∈N* x满足的条件 f(x)≥0 f(x)≠0 f(x)>0 f(x)>0，且f(x)≠1，g(x)>0 πf(x)≠kπ＋，k∈Z 21与[f(x)]0 f?x?logaf(x)(a>0，a≠1) logf(x)g(x) tan f(x)
【知识拓展】
1．函数实质上就是数集上的一种映射，即函数是一种特殊的映射，而映射可以看作函数概念的推广．
2．函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点．利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象．
3．分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成，同时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同的地方不能有两个及两个以上的点． 【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( × )
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( × ) (3)映射是特殊的函数．( × )
(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．( × ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × )
1．下列函数中，不满足．．．f(2x)＝2f(x)的是( ) A．f(x)＝|x| C．f(x)＝x＋1 答案 C
解析 将f(2x)表示出来，看与2f(x)是否相等．
B．f(x)＝x－|x| D．f(x)＝－x
对于A，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)； 对于B，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)； 对于C，f(2x)＝2x＋1≠2f(x)； 对于D，f(2x)＝－2x＝2f(x)，
故只有C不满足f(2x)＝2f(x)，所以选C. 2．函数f(x)＝10，? A.??2?
1
0，?∪(2，＋∞) C.??2?答案 C
??x>0，解析 要使函数f(x)有意义，需使? 2
??log2x?－1>0，?
1
的定义域为( )
?log2x?2－1
B．(2，＋∞) 1
0，?∪[2，＋∞) D.??2?
11
0，?∪(2，＋∞)． 解得x>2或0 ?1－x，x≥0， 3．(2015·陕西)设f(x)＝?x则f(f(－2))等于( ) ?2，x＜0， 113 A．－1 B. C. D. 422答案 C 1?1－ 解析 ∵f(－2)＝22＝＞0，则f(f(－2))＝f??4?＝1－4 111 ＝1－＝，故选C. 422 4．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( ) 答案 B 解析 A中函数定义域不是[－2,2]，C中图象不表示函数，D中函数值域不是[0,2]，故选B. 5．给出下列四个命题： ①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝x－2＋2－x是函数；③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；④函数的定义域和值域一定是无限集合． 其中真命题的序号有________． 答案 ①② 解析 对于①函数是映射，但映射不一定是函数；对于②f(x)是定义域为{2}，值域为{0}的函数；对于③函数y＝2x(x∈N)的图象不是一条直线；对于④函数的定义域和值域不一定是无限集合. 题型一 函数的概念 例1 (1)有以下判断： ??1 ?x≥0?|x| ①f(x)＝与g(x)＝?表示同一函数； x?－1 ?x<0?? ②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个； ③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数； ?1??＝0. ④若f(x)＝|x－1|－|x|，则f?f??2?? 其中正确判断的序号是________． x2 ??4e ?x<3?， (2)设f(x)＝?则f[f(ln 2＋2)]等于( ) ?log?3x＋1??x≥3?，?5 － A．log515 C．5 答案 (1)②③ (2)B B．2 D．log5(3e2＋1) ??1 ?x≥0?|x| 解析 (1)对于①，由于函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝? x?－1 ?x<0?? 的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，1?f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于④，由于f??2?1??1??f?1??＝f(0)＝1. －1－＝?＝0，所以f?2??2???2??综上可知，正确的判断是②③. (2)由题可知，自变量ln 2＋2<3，故f(ln 2＋2)＝4eln 2＝8，f(8)＝log525＝log552＝2，即有f[f(ln 2＋2)]＝2. 思维升华 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关 系算出的函数值是否相同)． (1)下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A．y＝x－1与y＝?x－1?2 B．y＝x－1与y＝ x－1 x－1 C．y＝4lg x与y＝2lg x2 x D．y＝lg x－2与y＝lg 100 (2)下列所给图象是函数图象的个数为( ) A．1 C．3 答案 (1)D (2)B 解析 (1)A中两函数对应关系不同；B、C中的函数定义域不同，答案选D. (2)①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象，故选B. B．2 D．4 题型二 函数的定义域 命题点1 求给定函数解析式的定义域 例2 (1)函数f(x)＝1－2x＋A．(－3,0] C．(－∞，－3)∪(－3,0] 1 的定义域为( ) x＋3 B．(－3,1] D．(－∞，－3)∪(－3,1] lg?x＋1? (2)函数f(x)＝的定义域是( ) x－1A．(－1，＋∞) C．(－1,1)∪(1，＋∞) 答案 (1)A (2)C x ??1－2≥0， 解析 (1)由题意知?解得－3 ?x＋3>0，? B．[－1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞) lg?x＋1? (2)要使函数f(x)＝有意义，需满足x＋1>0且x－1≠0，得x>－1，且x≠1，故选C. x－1