命题点2 求抽象函数的定义域
f?x＋1?
例3 (1)若函数y＝f(x)的定义域是[1,2 016]，则函数g(x)＝的定义域是( )
x－1A．[0,2 015] C．(1,2 016]
B．[0,1)∪(1,2 015] D．[－1,1)∪(1,2 015]
2
x＋x?
(2)若函数f(x)的定义域为(0,1]，则函数f?lg 的定义域为( )
2??A．[－5,4]
C．[－5，－2]∪[1,4] 答案 (1)B (2)D
解析 (1)令t＝x＋1，则由已知函数的定义域为[1，2 016]，可知1≤t≤2 016.要使函数f(x＋1)有意义，则有1≤x＋1≤2 016，解得0≤x≤2 015，故函数f(x＋1)的定义域为[0,2 015]．
??0≤x≤2 015，
所以使函数g(x)有意义的条件是?解得0≤x<1或1 ?x－1≠0，? B．[－5，－2) D．[－5，－2)或(1,4] 义域为[0,1)∪(1,2 015]．故选B. x2＋xx2＋x (2)∵函数f(x)的定义域为(0,1]，∴0 22故选D. 命题点3 已知定义域求参数范围 例4 若函数f(x)＝f(x)?答案 [－1,0] 解析 因为函数f(x)的定义域为R，所以 2x2?2ax?a?1的定义域为R，则a的取值范围为________． 2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥20， x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0. 思维升华 简单函数定义域的类型及求法 (1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数： ①无论是已知定义域还是求定义域，均是指其中的自变量x的取值集合； ②对应f下的范围一致． (3)已知定义域求参数范围，可将问题转化，列出含参数的不等式(组)，进而求范围． 11 (1)已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f(x＋)＋f(x－)的定义域是 22 ________． (2)函数y＝ln?x＋1?－x2－3x＋4 的定义域为_______________________________________． 13 答案 (1)[，] (2)(－1,1) 22 解析 (1)因为函数f(x)的定义域是[0,2]， ?0≤x＋2≤2， 11 所以函数g(x)＝f(x＋)＋f(x－)中的自变量x需要满足?221 0≤x－≤2，?2 13 所以函数g(x)的定义域是[，]． 22 ?x＋1>0，? (2)由?2得－1 ?－x－3x＋4>0，? 1 13 解得：≤x≤， 22 题型三 求函数解析式 2 例5 (1)已知f(＋1)＝lg x，则f(x)＝________. x (2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________. 1 (3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f()·x－1，则f(x)＝________. x答案 (1)lg 221(x>1) (2)2x＋7 (3)x＋ 33x－1 22 解析 (1)(换元法)令t＝＋1(t>1)，则x＝， xt－1∴f(t)＝lg 22 ，即f(x)＝lg(x>1)． t－1x－1 (2)(待定系数法) 设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b， 即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立， ???a＝2，?a＝2， ∴?解得? ?b＋5a＝17，???b＝7， ∴f(x)＝2x＋7. (3)(消去法) 11 在f(x)＝2f()x－1中，用代替x， xx11 得f()＝2f(x)－1， xx 12f?x?1将f()＝－1代入f(x)＝2f()x－1中， xxx21可求得f(x)＝x＋. 33 思维升华 函数解析式的求法 (1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式； 1?(4)消去法：已知f(x)与f??x?或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． (1)已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)＝________. (2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________. (3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x)＝__________________. 1 答案 (1)x2－1(x≥1) (2)－x(x＋1) 221 (3)lg(x＋1)＋lg(1－x) (－1 (2)当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1， 11 由已知f(x)＝f(x＋1)＝－x(x＋1)． 22 (3)当x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．① 以－x代替x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．② 由①②消去f(－x)得， 21 f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1,1)． 33 2．分类讨论思想在函数中的应用 x?1??e1,x?1典例 (1)设函数f(x)＝?,则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________． 3??x,x?1??3x－1，x＜1， (2)(2015·山东)设函数f(x)＝?x则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是( ) ?2，x≥1，? 2? A.??3，1? B．[0,1] 2 ，＋∞? C.??3? － D．[1, ＋∞) 解析 (1)当x<1时，ex1≤2，解得x≤1＋ln 2， ∴x<1. 当x≥1时，x≤2，解得x≤8，∴1≤x≤8. 综上可知x∈(－∞，8]． (2)由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1. 22 当a<1时，有3a－1≥1，∴a≥，∴≤a<1. 33当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1. 2 综上，a≥，故选C. 3答案 (1)(－∞，8] (2)C 温馨提醒 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，然后选定相应关系式代入求解． (2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围． (3)当自变量含参数或范围不确定时，要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论． [方法与技巧] 1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同． 2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行． 3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4．分段函数问题要分段求解． [失误与防范] 1．复合函数f[g(x)]的定义域也是解析式中x的范围，不要和f(x)的定义域相混． 2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论． 13 A组 专项基础训练 (时间：30分钟) 1．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A．f(x)＝x，g(x)＝(x)2 B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2 C．f(x)＝x2，g(x)＝|x| D．f(x)＝0，g(x)＝x－1＋1－x 答案 C 解析 在A中，定义域不同，在B中，解析式不同，在D中，定义域不同． 2．已知函数f(x)＝A．{x|x<1} C．? 答案 A 解析 M＝(－1,1)，N＝(－1，＋∞)， 故M∪(?RN)＝{x|x<1}，故选A. π －?3．已知f(x)为偶函数，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2sin x，当x∈[2，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f??3?＋f(4)等于( ) A．－3＋2 B．1 C．3 D.3＋2 答案 D πππ －?＝f??＝2sin＝3， 解析 因为f??3??3?3π －?＋f(4)＝3＋2. f(4)＝log24＝2，所以f??3? 4．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为( ) A．g(x)＝2x2－3x C．g(x)＝3x2＋2x 答案 B 解析 (待定系数法)设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， ∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点， a＋b＋c＝1，?? ∴?a－b＋c＝5，??c＝0， B．g(x)＝3x2－2x D．g(x)＝－3x2－2x 1 的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∪(?RN)等于( ) 1－x2B．{x|x≥1} D．{x|－1≤x<1} a＝3，?? 解得?b＝－2， ??c＝0， ∴g(x)＝3x2－2x，选B.