考点： 直线与平面所成的角．
专题： 空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．
分析： （1）先设AB=b，AD=2﹣b，分别以AB，AD，AA1三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，从而可写出空间一些点的坐标，根据条件即可求出b=1．设平面A1CD的法向
量为
A1CD所成角为θ，由sin
，根据即可求出法向量即可求出θ；
，设直线BA1和平面
（2）设存在P点满足条件，设P（x，y，z），从而有，这样即可用t，b表示出P
点坐标，而根据即可求出b，t，从而能够确定出P点的位置．
解答： 解：设AB=b，则AD=2﹣b，分别以边AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：
A（0，0，0），B（b，0，0），C（b，
2﹣b，0），D（0，2﹣b，0），A1（0，0，1）；
（1）根据条件，2（AB+AD）=4； ∴2=AB+AD≥2；
∴AB?AD≤1，当AB=AD=1时取“=”，∴此时b=1，B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0）； ∴的法向量为
，
，则：
，
，设平面A1CD
；
取z1=1，则
；
设直线BA1与平面A1CD所成角为θ，则： sinθ=
=
；
∴θ=30°；
即直线BA1和平面A1CD所成角为30°；
（2）假设在线段A1C上存在点P满足条件，设P（x，y，z），∴存在t，使∴（x，y，z﹣1）=t（b，2﹣b，﹣1）； ∴P（bt，（2﹣b）t，1﹣t），
；
，
；
∴；
∴；
∴；
即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P，位置是线段A1C上A1P：PC=2：1处． 点评： 考查通过建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角，解决线面垂直问题的方法，基本不等式的运用，长方体的体积公式，以及平面法向量的概念及求法，直线和平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角的关系，向量夹角余弦的坐标公式，线面垂直的性质，两向量垂直的充要条件．
18．（15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10=55，S20=210． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设
，是否存在m、k（k＞m≥2，k，m∈N），使得b1、bm、bk成等比数列．若
*
存在，求出所有符合条件的m、k的值；若不存在，请说明理由．
考点： 等比关系的确定；等差数列的通项公式． 专题： 计算题．
分析： （1）设出其首项和公差，直接利用S10=55，S20=210求出首项和公差即可求数列{an}的通项公式； （2）先求出
，再代入b1、bm、bk成等比数列对应的等量关系，求出m、k之
*
间的关系式，再利用题中k＞m≥2，k，m∈N，即可求出对应的m、k的值． 解答： 解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则
．（1分）
由已知，得（3分）
即解得
*
（5分）
所以an=a1+（n﹣1）d=n（n∈N）．（6分） （2）假设存在m、k（k＞m≥2，m，k∈N），使得b1、bm、bk成等比数列，
2
则bm=b1bk．（7分） 因为
，（8分）
所以所以
．
．（9分）
整理，得
2
．（10分）
因为k＞0，所以﹣m+2m+1＞0．（11分） 解得．（12分）
*
因为m≥2，m∈N， 所以m=2，此时k=8．
故存在m=2、k=8，使得b1、bm、bk成等比数列．（14分）
点评： 本题第一问主要考查利用等差数列的前n项和求数列{an}的通项公式以及等比关系的确定，是对等差数列，等比数列基础知识的考查．作这一类型题目，一般是设出基本量，利用已知条件列出等量关系，再进行求解即可． 19．（15分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）， （Ⅰ）求抛物线的标准方程；
22
（Ⅱ）与圆x+（y+1）=1相切的直线l：y=kx+t交抛物线于不同的两点M，N，若抛物线上一点C满足
（λ＞0），求λ的取值范围．
考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质． 专题： 压轴题；圆锥曲线中的最值与范围问题．
2
分析： （Ⅰ） 设抛物线方程为x=2py，把点（2，1）代入求得p即可；
（II） 因为直线与圆相切，利用相切的性质即可得出k与t 的关系式，再把直线的方程与抛物线的方程联立得到关于x的一元二次方程，利用判别式△＞0得到t的取值范围，利用根与
系数的关系及已知满足
2
（λ＞0），即可得出λ的取值范围．
解答： 解（Ⅰ） 设抛物线方程为x=2py，
2
由已知得：2=2p所以 p=2
2
所以抛物线的标准方程为 x=4y． （Ⅱ） 因为直线与圆相切， 所以
2
把直线方程代入抛物线方程并整理得：x﹣4kx﹣4t=0
22
由△=16k+16t=16（t+2t）+16t＞0 得 t＞0或t＜﹣3 设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则x1+x2=4k由
得 C（4kλ，（4k+2t）λ）
2
因为点C在抛物线x=4y上， 所以，16kλ=4（4k+2t）λ因为t＞0或t＜﹣3，
所以 2t+4＞4或 2t+4＜﹣2 所以 λ的取值范围为
．
22
22
点评： 本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线及圆的位置关系等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力．
20．（14分）已知f（x）=2x﹣tx，且|f（x）|=2有且仅有两个不同的实根α和β（α＜β）． （1）求实数t的取值范围
2
（2）若x1、x2∈[α，β]且x1≠x2，求证：4x1x2﹣t（x1+x2）﹣4＜0； （3）设
，对于任意x1、x2∈[α，β]上恒有|g（x1）﹣g（x2）|≤λ（β﹣α）成立，
求λ的取值范围．
考点： 函数恒成立问题；二次函数的性质．
专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析： （1）根据二次函数的图象的顶点，结合条件可得，解不等式即可得到k的范
围；
（2）运用韦达定理和不等式的性质，结合分解因式，即可得证；
（3）运用g（x）的单调性和分离参数，即可得到右边函数的最大值，进而得到所求范围． 解答： 解：（1）根据f（x）=2x﹣tx图象翻折后顶点值得﹣4＜t＜4，
即有t的取值范围是（﹣4，4）； （2）证明：由韦达定理知
，
2
，
不妨设α＜x1＜x2＜β，
由于x1、x2∈[α，β]，故（x1﹣α）（x2﹣β）≤0，x1x2﹣（αx2+βx1）+αβ≤0
即4x1x2﹣4（αx2+βx1）﹣4≤04x1x2﹣t（x1+x2）﹣4≤4（αx2+βx1）﹣t（x1+x2） =4（αx2+βx1）﹣2（α+β）（x1+x2）=2（αx2+βx1）﹣2（αx1+βx2）=2（x2﹣x1）（α﹣β）＜0， （3）解：任取x1、x2∈[α，β]，x1＜x2， 则
所以g（x）在[α，β]上是增函数， 故|g（x1）﹣g（x2）|≤λ（β﹣α） 等价于
=
=2，
，
故λ≥2．
点评： 本题主要考查二次函数的图象和性质，同时考查韦达定理和不等式恒成立问题转化为求函数的最值，考查运算能力，属于中档题．