锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键． 23．（8分）（2017?娄底）“中国梦”是中华民族每一个人的梦，也是每一个中小学生的梦，各中小学开展经典诵读活动，无疑是“中国梦”教育这一宏大乐章里的响亮音符，学校在经典诵读活动中，对全校学生用A、B、C、D四个等级进行评价，现从中抽取若干个学生进行调查，绘制出了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）共抽取了多少个学生进行调查？ （2）将图甲中的折线统计图补充完整．
（3）求出图乙中B等级所占圆心角的度数．
考点： 折线统计图；扇形统计图 专题： 数形结合． 分析： （1）用C等级的人数除以C等级所占的百分比即可得到抽取的总人数； （2）先用总数50分别减去A、C、D等级的人数得到B等级的人数，然后画出折线统计图； （3）用360°乘以B等级所占的百分比即可得到B等级所占圆心角的度数． 解答： 解：（1）10÷20%=50， 所以抽取了50个学生进行调查； （2）B等级的人数=50﹣15﹣10﹣5=20（人）， 画折线统计图； （3）图乙中B等级所占圆心角的度数=360°×=144°． 点评： 本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变
化；折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了扇形统计图． 四、综合用一用，马到成功（本大题共1道小题，满分8分） 24．（8分）（2017?娄底）娄底到长沙的距离约为180km，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从娄底去长沙，小刘比张晚出发1小时，最后两车同时到达长沙，已知小轿车的速度是大货车速度的1.5倍．
（1）求小轿车和大货车的速度各是多少？（列方程解答） （2）当小刘出发时，求小张离长沙还有多远？ 考点： 分式方程的应用． 分析： （1）由题意，设大货车速度为xkm/h，则小轿车的速度为1.5xkm/h，根据“小刘比张晚出发1小时，最后两车同时到达长沙，”列出方程解决问题； （2）利用（1）中小张开着大货车的速度，即可求得答案． 解答： 解：（1）设大货车速度为xkm/h，则小轿车的速度为1.5xkm/h，由题意得 ﹣=1 解得x=60， 则1.5x=90， 答：大货车速度为60km/h，则小轿车的速度为90km/h． （2）180﹣60×1=120km 答：当小刘出发时，小张离长沙还有120km． 点评： 此题考查分式方程的运用，注意题目蕴含的数量关系，设出未知数，列方程解决问题． 五、耐心想一想，再接再厉（本大题共1道小题，满分8分） 25．（8分）（2017?娄底）如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD．
（1）求证：△ABD≌△CDB；
（2）若∠DBE=37°，求∠ADC的度数．
考点： 切线的性质；全等三角形的判定与性质 分析： （1）根据AB，CD是直径，可得出∠ADB=∠CBD=90°，再根据HL定理得出△ABD≌△CDB； （2）由BE是切线，得AB⊥BE，根据∠DBE=37°，得∠BAD，由OA=OD，得出∠ADC的度数． 解答： （1）证明：∵AB，CD是直径，
∴∠ADB=∠CBD=90°， 在△ABD和△CDB中， ， ∴△ABD和△CDB（HL）； （2）解：∵BE是切线， ∴AB⊥BE， ∴∠ABE=90°， ∵∠DBE=37°， ∴∠ABD=53°， ∵OA=OD， ∴∠BAD=∠ODA=90°﹣53°=37°， ∴∠ADC的度数为37°． 点评： 本题考查了切线的性质以及全等三角形的判定和性质，是基础题，难度不大． 六、探究试一试，超越自我（本大题共2道小题，每小题10分，满分20分）
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26．（10分）（2017?娄底）如图，抛物线y=x+mx+（m﹣1）与x轴交于点A（x1，0），B
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（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C（0，c），且满足x1+x2+x1x2=7． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
考点： 二次函数综合题． 分析： （1）利用根与系数的关系，等式x1+x2+x1x2=7．由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣m，x1x2=m﹣1．代入等式，即可求得m的值，从而求得解析式． （2）根据线段的垂直平分线上的点到两端点的距离相等，求得P点的纵坐标，代入抛物线的解析式即可求得． 解答： 解（1）依题意：x1+x2=﹣m，x1x2=m﹣1， ∵x1+x2+x1x2=7， 2∴（x1+x2）﹣x1x2=7， 2∴（﹣m）﹣（m﹣1）=7， 2即m﹣m﹣6=0， 解得m1=﹣2，m2=3， ∵c=m﹣1＜0，∴m=3不合题意 22
∴m=﹣2 抛物线的解析式是y=x﹣2x﹣3； 2 （2）能 如图，设p是抛物线上的一点，连接PO，PC，过点P作y轴的垂线，垂足为D． 若∠POC=∠PCO 则PD应是线段OC的垂直平分线 ∵C的坐标为（0，﹣3） ∴D的坐标为（0，﹣） ∴P的纵坐标应是﹣ 令x﹣2x﹣3=，解得，x1=因此所求点P的坐标是（2，x2=，﹣），（ ，﹣） 点评： 本题考查了根与系数的关系是：x1+x2=﹣，x1x2=，以及线段的垂直平分线的性质，函数图象交点坐标的求法等知识．
27．（10分）（2017?娄底）如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题： （1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？
（2）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；′
（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？
考点： 相似形综合题 分析： （1）过点P作PH⊥AC于H，由△APH∽△ABC，得出根据==，从而求出AB，再，得出PH=3﹣t，则△AQP的面积为：AQ?PH=t（3﹣t），最后进行整理即可得出答案； （2）连接PP′交QC于E，当四边形PQP′C为菱形时，得出△APE∽△ABC，=，求出AE=﹣t+4，再根据QE=AE﹣AQ，QE=QC得出﹣t+4=﹣t+2，再求t即可； （3）由（1）知，PD=﹣t+3，与（2）同理得：QD=﹣t+4，从而求出PQ=， 在△APQ中，分三种情况讨论：①当AQ=AP，即t=5﹣t，②当PQ=AQ，即=t，③当PQ=AP，即解答： 解：（1）如图甲，过点P作PH⊥AC于H， ∵∠C=90°， ∴AC⊥BC， ∴PH∥BC， ∴△APH∽△ABC， ∴=， =5﹣t，再分别计算即可． ∵AC=4cm，BC=3cm， ∴AB=5cm， ∴=，