第六关 以二次函数与特殊四边形问题为背景的解答题
【总体点评】二次函数在全国中考数中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数竞赛中也有二次函数
大题，很多生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大中很多数知识都与函数知识或函数的思想有关，生在初中阶段函数知识和函数思维方法得好否，直接关系到未来数的习。二次函数与特殊平行四边形的综合问题属于初中阶段的主要内容，其主要涉及：二次函数的表达式、二次函数动点问题的讨论、特殊平行四边形的性质（主要包括线段之间的关系、角度的大小等等）。在中考中，往往作为压轴题的形式出现，也给很多中生造成了很大的压力。
【解题思路】以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖
面广，综合性较强，对生分析问题和解决问题的能力要求高．对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．
【典型例题】
【例1】如图，二次函数y??12x?bx?c的图象经过A(2，0)，B（0，-6）两点. 2(1)求这个二次函数的解析式及顶点坐标；
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积.
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P．使得以O、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（4，2）；（2）6；（3）存在， P1（2，6），P2（2，－6）
∴顶点
坐标为：（4，2）；
12
x+4x﹣6=0，∴x2﹣8x+12=0，∴解得：x1=2，x2=6，∴另一个交点C（6，0）， 21∴AC=2，∴S△ABC=×2×6=6；
2（2）令?（3）存在．分两种情况讨论：
①显然过B作BP∥OC交对称轴于点P，则四边形OBPC是矩形，此时P(2，－6)；
②过O作OP∥BC交对称轴于点P，∵OB∥PC，∴四边形OBCP是平行四边形，∴CP=OB=6，∴P(2，6)． 综上所述：P（2，6）或P（2，－6）．
【名师点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及平行四边形的判定方法，解题的关键是把
已知点的坐标代入函数解析式，得到关于b、c的方程组．再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．
4【例2】如图1（注：与图2完全相同），二次函数y=3x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，
0）两点，与y轴交于点C． （1）求该二次函数的解析式；
（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积（请在图1中探索）；
（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）．
48529【答案】（1）y=3x2﹣3x﹣4；（2）4；（3）四边形APEQ为菱形，E点坐标为（﹣8，﹣16）．理由
详见解析. 【解析】
4试题分析：（1）将A，B点坐标代入函数y=3x2+bx+c中，求得b、c，进而可求解析式；（2）由解析式
先求得点D、C坐标，再根据S△ACD=S梯形AOMD﹣S△CDM﹣S△AOC，列式计算即可；（3）注意到P，Q运动速度相同，则△APQ运动时都为等腰三角形，又由A、E对称，则AP=EP，AQ=EQ，易得四边形四边都相等，即菱形．利用菱形对边平行且相等的性质可用t表示E点坐标，又E在E函数上，所以代入即可求t，进而E可表示．
4试题解析：（1）∵二次函数y=3x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），
∴，
8??b??3??解得：?c??4， 48∴y=3x2﹣3x﹣4；
（2）过点D作DM⊥y轴于点M，
48416∵y=3x2﹣3x﹣4=3（x﹣1）2﹣3，
16∴点D（1，﹣3）、点C（0，﹣4），
1161161则S△ACD=S梯形AOMD﹣S△CDM﹣S△AOC=2×（1+3）×3﹣2×（3﹣4）×1﹣2×3×4=4；
529（3）四边形APEQ为菱形，E点坐标为（﹣8，﹣16）．理由如下
如图2，E点关于PQ与A点对称，过点Q作，QF⊥AP于F，
∵AP=AQ=t，AP=EP，AQ=EQ ∴AP=AQ=QE=EP， ∴四边形AQEP为菱形， ∵FQ∥OC，
AFFQAQ??∴AOOCAC， AFFQt??∴345
34∴AF=5t，FQ=5t
34∴Q（3﹣5t，﹣5t），
∵EQ=AP=t，
34∴E（3﹣5t﹣t，﹣5t），
48∵E在二次函数y=3x2﹣3x﹣4上，
44888∴﹣5t=3（3﹣5t）2﹣3（3﹣5t）﹣4，
145∴t=64，或t=0（与A重合，舍去），
529∴E（﹣8，﹣16）．
考点：二次函数综合题．
【名师点睛】本题考查了二次函数性质、求三角形的面积、菱形等知识，总体来说题意复杂但解答内
容都很基础，是一道值得练习的题目．
【例3】如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（其中b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC． （1）求该二次函数的解析式及点M的坐标．
（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围．
（3）沿直线AC方向平移该二次函数图象，使得CM与平移前的CB相等，求平移后点M的坐标． （4）点P是直线AC上的动点，过点P作直线AC的垂线PQ，记点M关于直线PQ的对称点为M′．当以
点P、A、M、M′为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）y=﹣x+2x+4，（1，5）；
2
（2）2＜m＜4;（3）（3，3）或（﹣1，7）;（4）（1，3）或（﹣3，7）.
【解析】试题分析：（1）利用待定系数法，求二次函数解析式.(2)先求出AC直线解析式，平移后顶点AC下方，AB上方，在求出坐标的范围.(3) 当y=1时，﹣x2+2x+4=1，解得x=﹣1或3，利用MM′∥AC，可得平移后的M的坐标.(4) 连接MC，MM′交PQ于F，设出各点坐标，则四边形CMFP是矩形, 当四边形
PAM′M是平行四边形时,分别求出P的坐标为（1，3）或（﹣3，7）．
试题解析：
解：（1）把点A（3，1），点C（0，4）代入二次函数y=﹣x2+bx+c得
{?9?3b?c?1b?2 ,解得{ ,
c?4c?4∴二次函数解析式为y=﹣x2+2x+4，
配方得y=﹣（x﹣1）2+5， ∴点M的坐标为（1，5）.
（2）设直线AC解析式为y=kx+b，把点A（3，1），C（0，4）代入得{3k?b?1 ，
b?4k??1解得： { ，
b?4∴直线AC的解析式为y=﹣x+4，如图所示，对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E、点F,