解析几何中高考热点问题例析
解析几何是历年高考必考内容,是一个热点,也是一个难点.由于这道题灵活性大,综合性强,得分率往往偏低,许多考生和老师感到头疼.本文拟就常见的问题作一归纳解析,以求对大家有所帮助.
一求圆锥曲线的轨迹或轨迹方程
x2y2C：??1(m?0)的左，右焦点． 例1:设F1，F2分别是椭圆
6m22m2????????（1）当P?C，且PF PF2?0，|PF1|?|PF2|?8时，求椭圆C的左，右焦点F1、F2．1?（2）F1、F2是（1）中的椭圆的左，右焦点，已知?F2的半径是1，过动点Q的作?F2切线QM，使得QF1?2QM（M是切点），如下图．求动点Q的轨迹方程．
y Q（x，y） M F1 O F2 x ∴PF1?PF2， 解：（1）∵c2?a2?b2，∴c2?4m2．……2分 又∵PF1?PF2?0∴PF1?PF222??2c??16m2
2由椭圆定义可知PF1?PF2?2a?26m，PF1?PF2??2?16m2?8?24m2，…6分
0?、F2?2，0?． 从而得m2?1，c2?4m2?4，c?2． ∴F1??2，F1（-2，0）（2）∵，F2（2，0），
由已知：QF1?2QM，即QF1?2QM，所以有：QF1?2QF2?1，设P（x，y）， …9分 则?x?2??y?2??x?2??y?1?
2222222?2???2即?x?6??y?32（或x2?y2?12x?4?0） 2综上所述，所求轨迹方程为：?x?6??y?32 22y Q（x，y）
M F1 O F2 x x2y2例2:如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离
aby心率e＝
3，左右两个焦分别为F1、F2．过右焦点F2且与x轴垂直的 2AF1oBF2MxN直线与椭圆C相交M、N两点，且|MN|=1．
(Ⅰ) 求椭圆C的方程；
????????(Ⅱ) 设椭圆C的左顶点为A,下顶点为B，动点P满足PA?AB?m?4，（m?R）试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆C上. 解：(Ⅰ)∵MF2?x轴，∴|MF2|?11,由椭圆的定义得：|MF1|??2a， 221121222∵|MF1|?(2c)?，∴(2a?)?4c?，
424又e?23232得c?a ∴4a2?2a?3a2, ?a?0 ?a?2
4222∴b?a?c?12a?1， 4x2?y2?1． ∴所求椭圆C的方程为4(Ⅱ)由（Ⅰ）知点A(－2,0)，点B为（0，－1），设点P的坐标为(x,y)
????????则PA?(?2?x,?y)，AB?(2,?1), ????????由PA?AB?m－4得－4?2x?y?m?4，
∴点P的轨迹方程为y?2x?m
设点B关于P的轨迹的对称点为B'(x0,y0)，则由轴对称的性质可得：
y0?1x1y?1??,0?2?0?m， x0222?4?4m2m?3,y0? 55?4?4m22m?32)?4()?4，整理得2m2?m?3?0解得∵点B'(x0,y0)在椭圆上，∴ (553m??1或 m?
23∴点P的轨迹方程为y?2x?1或y?2x?，
2解得：x0?经检验y?2x?1和y?2x?3都符合题设， 23． 2∴满足条件的点P的轨迹方程为y?2x?1或y?2x?二探究性问题
例3已知椭圆C的中心为原点，点F(1,0)是它的一个焦点，直线l过点F与椭圆C交于A,B两点，且当直线l垂直于x轴时，OA?OB?5． 6（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得在椭圆C的右准线上可以找到一点P，满足?ABP为正三角形．如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．
x2y222解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为：2?2?1(a?b?0)，则a?b?1．……①
abb2b2?当l垂直于x轴时，A,B两点坐标分别是(1,)和(1,?)，
aab2b2b4b45?OA?OB?(1,)?(1,?)?1?2，则1?2?，即a2?6b4．………②
aa6aa由①，②消去a，得6b?b?1?0．
42?b2?112或b??（舍去）． 231322当b?时，a?．
222x2?2y2?1． 因此，椭圆C的方程为3（Ⅱ）设存在满足条件的直线l．
2b26(1)当直线l垂直于x轴时，由（Ⅰ）的解答可知AB?，焦点F到右准线的距?a3a213?c?，此时不满足d?AB． 离为d?c22因此，当直线l垂直于x轴时不满足条件．
（2）当直线l不垂直于x轴时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y?k(x?1)．
?y?k(x?1),?2222由?2x2(6k?2)x?12kx?6k?3?0， ?2?2y?1??3设A,B两点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则
6k26k2?3x1?x2?2，x1x2?． 23k?16k?2AB?1?k2x1?x2?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]
6(k2?1)6k226k2?3． ?(1?k)[(2)?4(2)]?3k2?13k?16k?22又设AB的中点为M，则xMx1?x23k2??2．
23k?11． k当?ABP为正三角形时，直线MP的斜率为kMP???xP?3， 21133k21?k23(k2?1)． ?MP?1?2xP?xM?1?2?(?2)??23k?1kkk22(3k2?1)1?k23(k2?1)36(k2?1)3?当?ABP为正三角形时，MP?＝， ?AB，即222k2(3k?1)223k?12解得k?1，k??1．
因此，满足条件的直线l存在，且直线l的方程为x?y?1?0或x?y?1?0．
x2y2??1的焦点为焦点，以抛物线例4双曲线M的中心在原点，并以椭圆
2513y2??23x的准线为右准线.
（Ⅰ）求双曲线M的方程；
（Ⅱ）设直线l：y?kx?3 与双曲线M相交于A、B两点，O是原点. ① 当k为何值时，使得OA?OB?0?
② 是否存在这样的实数k,使A、B两点关于直线y?mx?12对称？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
x2y2??1的半焦距为：c?23， 解：（Ⅰ）易知，椭圆
2513 又抛物线y2??23x的准线为：x?3. 2x2y2a23设双曲线M的方程为2?2?1，依题意有， ?c2ab故a?233c??23?3，又b2?c2?a2?12?3?9. 22x2y2??1. ∴双曲线M的方程为39（Ⅱ）设直线l与双曲线M的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2)两点
?x2y2?1??22联立方程组?3 消去y得 (k?3)x?6k?18?0， 9?y?kx?3?∵A(x1,y1)、B(x2,y2)两点的横坐标是上述方程的两个不同实根， ∴k?3?0 ∴??(6k)2?4(k2?3)?18?0??6?k?6，从而有
2x1?x2??6k18xx?，. 12k2?3k2?3又y1?kx1?3，y2?kx2?3
18k218k2??9?9. ∴y1y2?(kx1?3)(kx2?3)?kx1x2?3k(x1?x2)?9?2k?3k2?32① 若OA?OB?0，则有 x1x2?y1y2?0，即∴当k??1时，使得OA?OB?0.
18?9?0 ?k2?1?k??1. 2k?3② 若存在实数k,使A、B两点关于直线y?mx?12对称，则必有 k??因此，当m=0时，不存在满足条件的k；
22??3x1?y1?92222当m?0时，由? 得 3(x?x)?(y?y1212)?0 22??3x2?y2?91， m?y?y2x?x2y1?y2y1?y2y?y2?31 ??3 ?k?1?3 ?k?122x1?x2x1?x2x1?x2