∵A、B中点P(x1?x2y1?y2,)在直线y?mx?12上， 22∴
y1?y2x?x2?m1?6 代入上式得 22x1?x2x?x2?12；又km??1， ∴x1?x2?6k ?6k?31226k2k?0代入并注意到，得 k?2?k??2. 2k?3km?将x1?x2??∴当m?0时，存在实数k??2，使A、B两点关于直线y?mx?12对称.--14分
三取值范围问题
例5:已知平面上一定点C(?1,0)和一定直线l:x??4.Ｐ为该平面上一动点，作PQ?l,垂足为
Q，(PQ?2PC)?(PQ?2PC)?0.
(1) 问点Ｐ在什么曲线上？并求出该曲线方程；
????????????????(2) 点Ｏ是坐标原点，A、B两点在点Ｐ的轨迹上，若OA??OB?求?的取值范（1??）OC，围．
????????????????????2????2解:(1)由(PQ?2PC)?(PQ?2PC)?0,得: PQ?4PC?0,
x2y2设P(x,y),则(x?4)?4??(x?1)?y???0,化简得: 4?3?1,
222x2y2??1. 点P在椭圆上,其方程为43?????????????????????(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，由OA??OB?(1??)OC得：CA??CB?0，所以，A、B 、
C三点共线.且??0,得:(x1?1,y1)??(x2?1,y2)?0,即: ??x1??1????x2
?y1???y2x12y12(?1????x2)(??y2)2??1 ① ??1,所以因为
4343x22y22(?x2)2(?y2)2??1,所以???2 ② 又因为43433?5?2?(??1)x2?(??1)2?1??2 ,化简得: x2?由①-②得: ,
2?4因为?2?x2?2,所以?2?解得:
3?5??2. 2?1?1????3所以?的取值范围为?,3?. 3?3?2y2例6:已知点（x，y）在椭圆C：x2?2?1（a?b?0)的第一象限上运动．
ab（Ⅰ）求点x,xy的轨迹C1的方程；
?y???（Ⅱ）若把轨迹C1的方程表达式记为y?f?x?，且在?0,3?内y?f?x?有最大值，
?3?试求椭圆C的离心率的取值范围．
y??x0?x,解:（Ⅰ）设点（x0，y0）是轨迹C1上的动点，∴?
??y0?xy.y∴x0y0=y2，x0?x2．
02y2x∵点（x，y）在椭圆C: 2?2?1（a?b?0)的第一象限上运动，则x0>0，y0>0． abyxy ∴20?020?1．
ax0b故所求的轨迹C1方程是
yxy??1（x?0，y?0）． a2xb222yxya（Ⅱ）由轨迹C1方程是2?2?1（x>0，y>0），得y?2b2x2（x>0）．
axbb?ax222222ababxab?ab． ∴ f(x)?222?2?b?axb?a2x2b?a2x2xx222所以，当且仅当b?ax，即x?ba时，f?x?有最大值． xb??如果在开区间?0,3?内y?f?x?有最大值，只有??3?aa3． 322c2?1， 解得此时，b2?1?a?2a336?e?1．
3???∴椭圆C的离心率的取值范围是?6,1?．
3?四最值问题
例7:已知M(4,0),N(1,0)若动点P满足MN?MP?6|NP| （1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设Q是曲线C上任意一点，求Q到直线l:x?2y?12?0的距离的最小值. 解：（1）设动点P（x，y），则MP(x?4,y),MN?(?3,0),PN?(1?x,?y)
2222由已知得?3(x?4)?6(1?x)?(?y),化简得3x?4y?12
x2y2即??1
43x2y2??1 ∴点P的轨迹方程是椭圆C：43（2）解一：由几何意义知，椭圆C与平行的切线其中一条l和l的距离等于Q与l的
距离的最小值。 设l':x?2y?D?0
代入椭圆方程消去x化简得：16y2?12Dy?3(D2?4)?0
‘
???144D2?192(D2?4)?0?D??4|12?4|l'与l距离的为585?Q与l距离的最小值为5解二：由集合意义知，椭圆C与平行的切线其中一条l和l的距离等于Q与l的距离的
22x0xy0yx0y0??1,且??1 最小值。设切点为R(x0,y0),则l:4343'‘
k??3x01?? 4y02?x0?1?x0??1??解得?或3?3
y?y??00?2?2???l'为x?2y?4?0
|12?4|l'与l距离为585?Q与l距离的最小值为5
解三：由椭圆参数方程设Q(2cos?,3sin?）
则Q与l距离d?|2cos??23sin??12|512?45?85 5?12?4sin(??30?)5
?sin(??30?)?1时dmin?22x0y0??1 解四：设Q(x0,y0),43且Q与l距离d?|x0?2y0?12|5
22x0y0xy由柯西不等式16?(?)(4?12)?(0?2?0?23)2?(x0?2y0)2
4323?|x0?2y0|?4
?dmin?12?45?85 5例8:如图，线段AB过y轴负半轴上一点M(0,a)，A、B两点到y轴距离的差为2k。 (Ⅰ)若AB所在的直线的斜率为k(k?0)，求以y轴为对称轴，且过A、O、B三点的
y抛物线的方程；
(Ⅱ)设(Ⅰ)中所确定的抛物线为C,点M是C的焦点，若 直线AB的倾斜角为60°，又点P在抛物线C上由A到B运动，
M(0,a)AoBx试求△PAB面积的最大值。
(Ⅰ) 解：依题意设所求的抛物线方程为x??2py (p?0)
∵直线AB的斜率为k且过点M(0,a)∴直线AB的方程为y?kx?a
2?y?kx?a2由?2得x?2pkx?2pa?0 ----------① ?x??2py设A(x1,y1),B(x2,y2)（x1?0,x2?0,y1?0,y2?0） 则x1,x2是方程①的两个实根
∴
x1?x2??2pk， 若|x1|?|x2|?2k
则?x1?x2?2k，?2pk??2k ∴p?1 若|x2|?|x1|?2k
则x1?x2??2pk?2k ∴p??1与p?0矛盾 ∴该抛物线的方程为x2??2y．-------7分
(Ⅱ)解法1：抛物线x2??2y的焦点为（0,?直线AB的斜率k?tan60?3 ∴直线AB的方程为y??11）即M点坐标为（0,?） 22yoPBADMx3x?1， 2?x2??3?2?x1??3?2?x2??2y???解方程组?得 ?17?43?7?43 ?y2???y1???y?3x??2?2?2即点A(?3?2,?7?437?43)，B(?3?2,?) 22∴|AB|?42?(43)2?8
1?3?2?m??3?2，且n??m2
2111|3m?n?||m2?3m?||?(m?3)2?4|2＝22＝则点P到直线AB的距离d?
422设点P(m，n)，依题意知当m??3时，dmax?1，
11|AB|dmax??8?1?8。 2211[解法2：抛物线x2??2y的焦点为（0,?）即M点坐标为（0,?）
22这时(S?PAB)max?直线AB的斜率k?tan60?3 ∴直线AB的方程为y??3x?1， 2?x2??2y?2由?1得x?23x?1?0 ?y?3x??2?x1?x2??23，x1x2??1，