?|AB|?1?k2|x1?x2|?2(x1?x2)2?4x1x2?212?4?8
以下同上。]
五 定值问题
例9:已知椭圆C的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y?25． 512x的焦点，离心率等于4(1) 求椭圆C的方程；
??????????(2) 过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．若MA??1AF，
?????????MB??2BF，求证：?1??2为定值．
x2y2.解：(1).设椭圆C的方程为2?2?1?a?b?0?,则由题意得b?1.
ab125a2?b2252,即,所以a?5. 1????22a5a5x2?y2?1. 故椭圆C的方程为5(2).设点A,B,M的坐标分别为?x1,y1?,?x2,y2?,?0,y0?. 易知点F的坐标为?2,0?.
?????????MA??1AF,??x1,y1?y0???1?2?x1,?y1?,
则x1?y2?1,y1?0. 1??11??1y12?12)?(0)2?1.
51??11??1将点A的坐标代入到椭圆方程中,得(2化简得?12?10?1?5?5y0?0.
????????22同理,由MB??2BF得?2?10?2?5?5y0?0,
所以,?1,?2是方程x?10x?5?5y0?0的两个根,
22??1??2??10.
例10:在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0,p)作直线与抛物线x2?2py(p?0)相交于A、B两点．
（I）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB 面积的最小值； （II）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC
为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程;若不存在，说明理由．
?p)，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 解:（I）依题意，点N的坐标为N(0，?x2?2py，直线AB的方程为y?kx?p，与x?2py联立得??y?kx?p．
2消去y得x2?2pkx?2p2?0．
由韦达定理得x1?x2?2pk，x1x2??2p2． 于是S△AMN?S△BCN?S△ACN?·2px1?x2． y 12B C A O N x ?px1?x2?p(x1?x2)?4x1x2 ?p4pk?8p?2p22222k?2，
2∴ 当k?0，(S△ABN)min?22p2．
（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y?a，
，PQ的中点为H， 设AC的中点为O?，l与AC为直径的圆相交于点P，Q则O?H?PQ，Q?点的坐标为??x1y1?p?，?．
2??2∵O?P?1121AC?x1?(y1?p)2?y12?p2， 222O?H?a?2y1?p1?2a?y1?p， 2222y ∴PH?O?P?O?HB l A O?C O N x ?121(y1?p2)?(2a?y1?p)2 44p????a??y1?a(p?a)，
2????p??2∴PQ?(2PH)2?4??a??y1?a(p?a)?．
2????令a?pp?0，得a?，此时PQ?p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为22y?p，即抛物线的通径所在的直线． 2六 定点问题
pp(,0)x??例11:已知动圆过定点，且与直线相切，其中p?0 。 22（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为?和?,
当?、?变化且?????时,证明直线AB恒过定点,并求出该定点的坐标。 4解:(Ⅰ）设动圆圆心为M(x,y)
则(x?)2?y2?x?化简，得：y2p2p， 2?2px(p?0)
2∴所求动圆圆心的轨迹C的方程是：y⑵设A(x1,y1),B(x2,y2)，由题意得x1?2px(p?0)
?x2（否则?????），且x1?0,x2?0，
所以直线AB的斜率存在，设其方程为y?kx?b，
2y12y2y2py2p显然x1?,x2?,即:1?,2?，
2p2px1y1x2y2把y?kx?b代入y2?2px：得ky2?2py?2pb?0，
2p2pb① ,y1?y2?kk由韦达定理知，y1?y2?y1y2??x1x22p(y1?y2)tan??tan?由????得：1?tan(???)? ??2yy41?tan?tan?1?1?2y1y2?4px1x22p?b?2p?2pk 把①代入上式，整理化简，得：1?b?2pk此时，直线AB的方程可表示为：y?kx?2p?2pk，即k(x?2p)?(y?2p)?0
?直线AB恒过定点(?2p,2p).
例12:已知一动圆P与定圆(x?1)2?y2?1和y轴都相切， （1）求动圆圆心P的轨迹M的方程；
（2）过定点A(1,2)，作△ABC，使?BAC?90，且动点B,C在P的轨迹M上移动（B,C不在坐标轴上），问直线BC是否过某定点？证明你的结论。 解：（1）设动点P的坐标为(x，y)，由题设知：
0(x?1)2?y2?1?|x|………………………………………………3'
化简得：x?0时，y2?4x…………………………………………4'
' x?0时，y?0……………………………………………5
P点的轨迹方程为y2?4x(x?0)和y?0(x?0)……………………6'
2) （2）设B、C的坐标为(x1，y1)、(x2，y2)，又A(1，??????????BAC=90，?AB?AC?(x1?1，y1?2)?(x2?1，y2?2)?0
0即(x1?1)(x2?1)?(y1?2)(y2?2)?0…………………①
而BC的直线方程为(x2?x1)(y?y1)?(y2?y1)(x?x1)……②……8
'y12y22?B、C在抛物线y?4x上，?x1?，x2?代入①式化简得
442?2(y1?y2)?y1y2?20………③……………………………………10'
y12y22，x2?把x1?代入②式化简得BC的方程为 44(y1?y2)y?y1y2?4x……④………………………………………12'
?2)， 对比③④可知，直线BC过点(5，?2)………………………………………14' ?直线BC恒过一定点(5，