考点： 反比例函数综合题。 专题： 综合题。
分析： 过A点作AC⊥x轴于C，
(1)先解方程组，可得到A点坐标为(1，1)，B点坐标为(－1，－1)，即OC＝AC＝1，则△OAC为等腰直
OC＝
，则AB＝2OA＝2
，于是得到双曲线y＝的对径； ，即AB＝10
，OA＝5
，根据OA＝
OC＝
AC，
角三角形，得到OA＝
(2)根据双曲线的对径的定义得到当双曲线的对径为10
则OC＝AC＝5，得到点A坐标为(5，5)，把A(5，5)代入双曲线y＝(k＞0)即可得到k的值；
(3)双曲线y＝(k＜0)的一条对称轴与双曲线有两个交点，根据题目中的定义易得到双曲线y＝(k＜0)的对径．
解答： 解：过A点作AC⊥x轴于C，如图，
(1)解方程组，得，， ∴A点坐标为(1，1)，B点坐标为(－1，－1)， ∴OC＝AC＝1， ∴OA＝
OC＝
， ，
∴AB＝2OA＝2
∴双曲线y＝的对径是2；
(2)∵双曲线的对径为10∴OA＝
OC＝
AC，
，即AB＝10
，OA＝5
，
∴OC＝AC＝5，
∴点A坐标为(5，5)，
把A(5，5)代入双曲线y＝(k＞0)得k＝5×5＝25， 即k的值为25；
(3)若双曲线y＝(k＜0)与它的其中一条对称轴y＝－x相交于A、B两点， 则线段AB的长称为双曲线y＝(k＞0)的对径．
点评： 本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；等腰直角三角形的斜边是
直角边的
倍；强化理解能力．
26．(2012?兰州)如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE． (1)判断DE与⊙O的位置关系并说明理由； (2)若tanC＝
，DE＝2，求AD的长．
考点： 切线的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形。 专题： 计算题；证明题。
分析： (1)连接OD，BD，求出∠ADB＝∠BDC＝90°，推出DE＝BE＝CE，推出∠EDB＝∠EBD，∠OBD＝∠ODB，推
出∠EDO＝∠EBO＝90°即可；
(2)BD＝
x，CD＝2x，在Rt△BCD中，由勾股定理得出(
x)2＋(2x)2＝16，求出x，求出BD，根据tan∠ABD
＝tanC求出AD＝BD，代入求出即可．
解答： 解：(1)DE与⊙O相切，
理由如下：连接OD，BD， ∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°， ∵E是BC的中点， ∴DE＝BE＝CE， ∴∠EDB＝∠EBD， ∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠ODB． ∴∠EDO＝∠EBO＝90°，(用三角形全等也可得到) ∴DE与⊙O相切．
(2)∵tanC＝，可设BD＝x，CD＝2x，
∵在Rt△BCD中，BC＝2DE＝4，BD2＋CD2＝BC2 ∴(
x)2＋(2x)2＝16，
解得：x＝±(负值舍去)
∴BD＝x＝， ∵∠ABD＝∠C， ∴tan∠ABD＝tanC AD＝
BD＝
×．
＝
．
答：AD的长是
点评： 本题综合考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线性质，切线的判定等知识点，主要培
养学生分析问题和解决问题的能力，注意：①证切线的方法，②方程思想的运用．
27．(2012?兰州)若x1、x2是关于一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠0)的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1＋x2＝－，x1?x2＝．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：AB＝|x1－x2|
＝＝＝＝；
参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．
(1)当△ABC为直角三角形时，求b2－4ac的值； (2)当△ABC为等边三角形时，求b2－4ac的值．
考点： 抛物线与x轴的交点；根与系数的关系；等腰三角形的性质；等边三角形的性质。 分析： (1)当△ABC为直角三角形时，由于AC＝BC，所以△ABC为等腰直角三角形，过C作CE⊥AB于E，则AB＝2CE．根
据本题定理和结论，得到AB＝解方程即可求出b2－4ac的值；
，根据顶点坐标公式，得到CE＝||＝，列出方程，
(2)当△ABC为等边三角形时，解直角△ACE，得CE＝AE＝，据此列出方程，解方程即可求出b2－4ac
的值．
解答： 解：(1)当△ABC为直角三角形时，过C作CE⊥AB于E，则AB＝2CE．
∵抛物线与x轴有两个交点，△＝b2－4ac＞0，则|b2－4ac|＝b2－4ac．
∵a＞0，∴AB＝，
又∵CE＝||＝，
∴，
∴，
∴，