导数计算练习题答案
1 用导数的定义求函数y?1?2x在点x?1处的导数。
2f(x)?f(1)1?2x2?(?1)2?2x2?lim?lim??2lim1?x??4 解：f?(1)?limx?1x?1x?1x?1x?1x?1x?132 一物体的运动方程为s?t?10，求该物体在t?3时的瞬时速度。
解：vt?3?s?(3)?3t2t?3?27
3 求在抛物线y?x上横坐标为3的点的切线方程。 解：k?f?(3)?2xx?3?6，切点为(3,9)，
所求切线方程为y?9?6(x?3)，即6x?y?9?0 4 求曲线y?32x2上点(1,1)处的切线方程与法线方程。
?x?12?1解：切线斜率k?f?(1)?x33法线斜率为?2， 33 22(x?1)，即2x?3y?1?0 33(x?1)，即3x?2y?5?0 223所求切线方程为y?1?所求法线方程为y?1??5自变量x取哪些值时，曲线y?x与y?x的切线平行？ 解：由已知，2x?3x，解出x?0或x?22 36讨论函数y?xx在点x?0处的可导性。 解：f??(0)?lim?x?0f(x)?f(0)?xx?0=lim?0 x?0?x?0x?0f(x)?f(0)xx?0=lim?0 x?0?x?0x?0 f??(0)?lim?x?0 f??(0)?f??(0)，所以函数y?xx在点x?0处的可导，且f?(0)?0。
?x2?17函数f(x)???3x?10?x?11?x在点x?1处是否可导？
f(x)?f(1)(x2?1)?2x2?1?lim?lim?limx?1?2 解: f??(1)?lim???x?1?x?1x?1x?1x?1x?1x?1? f??(1)f(x)?f(1)(x?3?1)2x?33l?im??lim??lim? x?1x?1x?1x?1x?1x?13f??(1)?f??(1)，所以函数f(x)在点x?1处不可导。 1?2?xsin8函数f(x)??x??0解：limf(x)?limxsinx?0x?02x?0x?0在点x?0处是否连续？是否可导？
1?0?f(0)， x所以函数f(x)在点x?0处连续。
f?(0)?limx?0f(x)?f(0)1?limxsin?0 x?0x?0x所以函数f(x)在点x?0处可导，且f?(0)?0。 9 求下列各函数的导数（其中a,b为常数） (1) y?3x?x?5 解：y??6x?1
2(2) y?2x?1?43 x解：y??22x?(?111)?? 22xxxx22? (3) y?2x2解：y??14(2x)?2(?2)x?3?x?3 2x1?x3(4) y?
x15?1?x32解：y??x?x2x 31?35y??(?)x2?x2
22(5) y?(x?1)(1?1) x解：y?(x?1)(11?1)??x xx1?31?1112y???x?x2??(1?)
22x2x(6) y?(x?1)2x 解：y?(x?1)2x?2(x?x)
3212311?112y??2(x?x2)?(3x?1)
222x(7) y?(x?a)(x?b)
解：y?(x?a)(x?b)?x?(a?b)x?ab
2y??2x?(a?b)
10 求下列各函数的导数（其中a,b,c,n为常数） （1）y?xlnx
解：y??x?lnx?x(lnx)??lnx?x?n1?lnx?1 x（2）y?xlnx
1??(xn)?lnx?xn(lnx)??nxn?1lnx?xn??xn?1(nlnx?1) y解：x（3）y?loga解：y?x
y??1
2xlna1logax2（4）y?x?1x?1
(x?1)?(x?1)?(x?1)(x?1)?(x?1)?(x?1)2 ???(x?1)2(x?1)2(x?1)2解：y??（5）y?5x 1?x2(5x)?(1?x2)?(5x)(1?x2)?5(1?x2)?(5x)(2x)5(1?x2)解：y?? ??222222(1?x)(1?x)(1?x)（6）y?3x?2x 2?x解：y??3?(2x)?(2?x)?(2x)(2?x)?2(2?x)?(2x)(?1)4 ?3??3?(2?x)2(2?x)2(2?x)211求下列各函数的导数 （1）y?xsinx?cosx
解：y??sinx?xcosx?sinx?xcosx
（2）y?x1?cosx
解：y??(1?cosx)?x(1?cosx)?1?cosx?xsinx? 22(1?cosx)(1?cosx)（3）y?tanx?xtanx
解：y??sec2x?tanx?xsec2x?(1?x)sec2x?tanx （4）y?5sinx
1?cosx解：y??(5cosx)(1?cosx)?5sinx(1?cosx)? (1?cosx)2?(5cosx)(1?cosx)?5sinx(?sinx)5cosx?55??
(1?cosx)2(1?cosx)21?cosx12 求下列各函数的导数（其中a,n为常数） （1）y?(1?x)
25解：y??5(1?x)(1?x)??5(1?x)(2x)?10x(1?x) （2）y?(2?3x2)1?5x2 解：y??6x1?5x?(2?3x)222422424(1?5x2)?21?5x2?6x1?5x2?(2?3x2)5x1?5x2 ?6x(1?5x2)?10x?15x31?5x2?16x?45x31?5x2
（3）y?解：y??x2?a2 (x2?a2)?2x?ax1?x2
22?2x2x?a22?xx?a22
(4) y?解：y??(1?x)?x(1?x)?(1?x)22221?x?x?2(?2x)221?x?(1?x2)21?x?2x211?x2?
2223(1?x)(1?x)(5) y?loga(1?x2)
(1?x2)?2x解：y?? ?22(1?x)lna(1?x)lna(6) y?lna2?x2 1(a2?x2)??x22解：y?ln(a?x)，y?? ?222222(a?x)a?x(7) y?ln1?x
1?x解：y?ln(1?x)?ln(1?x)
y??111111(1?x)??(1?x)????1?x1?x1?x2x1?x2x1 x(1?x)(8) y?sinnx
解：y??cosnx(nx)??ncosnx