x?1?k2f??(0)?l?im
x?0x
(kxex?1)?k2 f??(0)?lim
x?0?x由连续的条件，k?1，
2x?1?k2x?1?1?lim?1 因此f??(0)?limx?0?x?0?xxx(kxe?1)?2kf??(0)?l?im?x?0x
(kxx?e?1)1lim??x?0?xx?0xkxelim?k x 所以k?1函数f(x)在点x?1处可导。
?x2?120设f(x)???ax?bx?1x?1在点x?1处可导，求a,b的值。
解：函数f(x)在点x?1处可导，必先在该点连续，
x?1limf(x)?lim(x2?1)?0 ??x?1x?1?limf(x)?lim(ax?b)?a?b ?x?1? 0 f(1)所以a?b?0时，函数f(x)在点x?1处连续，
f?(1)?lim
x?1f(x)?f(1)f(x)?limx?1x?1x?1
x2?1f??(1)?lim?lim(x?1)?2
x?1?x?1x?1? f??(1)?lim?x?1ax?bax?a?lim?a ?x?1x?1x?1所以a?2,b??2函数f(x)在点x?1处可导。
21 求下列各函数的二阶导数： （1）y?ln(1?x)
22x2(1?x2)?2x2x2(1?x2)??解：y?? ?2 ，y?22221?x(1?x)(1?x)（2）y?(1?x)arctanx
2??2xarctanx?(1?x2)y解：
y???2arctanx?21?2xarctanx?1 21?x2x 1?x222 设y?f(x?b)，其中b为常数，f存在二阶导数，求y??。 解：y??2xf?(x?b)
2y???2f?(x2?b)?2xf??(x2?b)2x?2f?(x2?b)?4x2f??(x2?b)
23 验证：y?esinx满足关系式y???2y??2y?0
xx?y?esinx?ecosx 解：
xy???exsinx?excosx?excosx?exsinx?2excosx
y???2y??2y?2excosx?2(exsinx?excosx)?2(exsinx)?0
24求下列各函数的微分： （1）y?1?x2 解：y???x1?x2，dy??x1?x2dx
（2）y?x1?x2
1?x2?x(?2x)1?x21?x2?dx 解：y?? dy?2222，22(1?x)(1?x)(1?x)（3）y?arcsinx 解：y??1111?dy?dx
1?x2x2x(1?x)，2x(1?x)（4）y?(e?e)
解：y??2(e?e)(e?e)， dy?[2(e?e)(e?e)]dx?2(e
25求隐函数xy?ex?yx?x2x?xx?xx?xx?x2x?e?2x)dx
的微分dy。
x?y解：方程两边对x求导y?xy??eex?y?yex?y?ydy?dx (1?y?)，y??x?ex?y，x?ex?y