第1章主要介绍集合论的基本概念和结论，集合的运算及其性质，以及利用运算性质进行集合表达式的化简和集合恒等式的证明等内容．考试经常涉及到的题型有以下4个： 集合与集合之间的包含、元素与集合之间的属于关系 幂集的计算 集合之间的运算
利用集合运算性质证明集合恒等式
大家对于集合与集合、元素和集合之间的关系往往容易混淆，那让我们来仔细分析下二者的区别。 1.集合与集合之间存在一种包含关系，用?、?、?、?等符号表示
①对任意两个集合A和B，若B中的每个元素都是A中的元素，则称B为A的子集，用B?A（B为A的子集）或A?B（B被A包含）表示．若B不是A的子集，即B?A不成立时，则称A不包含B，记作BA． ②空集是任意一个集合的子集，集合A也是自己的子集．
③对任意两个集合A和B，若B?A且B≠A，则称B为A的真子集，用B?A或A?B表示． 2.元素与集合之间存在一种从属关系，用∈、等符号表示 当a是集合A中的元素，则称a属于A，记作a∈A； 若a不是集合A中的元素，则称a不属于A，记作aA． 那么在考试中是怎样考的呢？我们来看2道历年真题：
[例1]若集合A＝{a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是(C )． （2008年9月试卷第1题） A．{a，{a}}∈A B．{2}?A C．{a}?A D．∈A [分析]
选项A，错了．
因为{a，{a}}是集合A＝{a，{a}，{1，2}}的子集，集合之间应该用包含关系?表示，即{a，{a}}?A． 选项B，错了．
因为2不是集合A＝{a，{a}，{1，2}}的元素，当然{2}也不是A的子集．正确的表示方法是{2}A． 选项C，正确．
因为a是集合A＝{a，{a}，{1，2}}的元素，所以取元素a组成一个集合{a}就是A的子集，用包含关系?表示是正确的．
注意：{a}也是集合A的元素，若属于关系∈也是正确的． 选项D，错了．
因为空集是任意一个集合的子集，所以也是A的子集，集合之间应该用包含关系?表示，即?A． [例2]若集合A={a，b}，B={a，b，{a，b}}，则（ ）． （2009年7月试卷第1题） A．A?B，且A∈B B．A∈B，但AB C．A?B，但AB D．AB，且AB [答案]A [分析]
选项A，正确．
因为集合A={a，b}既是取集合B={a，b，{a，b}}中元素a，b组成的一个集合，是B的一个真子集，用A?B表示是正确的；但它也是B的元素，所以用A∈B表示也是正确的． 选项B，错了．
选项中第一个式子A∈B是正确的，但第二个式子AB是错的．因为集合A={a，b}是取集合B={a，b，{a，b}}中元素a，b组成的一个集合，是B的一个真子集，应该用A?B表示，而不是用AB表示． 选项C，错了．
选项中第一个式子A?B是正确的，但第二个式子AB是错的．因为集合A={a，b}是集合B={a，b，{a，b}}中元素，应该用A∈B表示，而不是用AB表示． 选项D，错了．
因为集合A={a，b}是取集合B={a，b，{a，b}}中元素a，b组成的一个集合，是B的一个真子集，应该用A?B表示，而不是用AB表示．
又因为集合A={a，b}是集合B={a，b，{a，b}}中元素，应该用A∈B表示，而不是用AB表示．
幂集的计算比较简单，先来看什么是幂集呢？
由集合A的所有子集组成的集合，称为A的幂集，记作P(A)或2A ．若集合A是由n个元素所组成的集合，则A的幂集由2n元素组成．当n=3时，A的幂集由23=8个元素组成．
举个例子来说，大家就会觉得比较简单了．设集合A = {0, 1, 2 }，则A的全部子集由以下子集组成：
0元子集（即空集）：；
1元子集：{0}，{1}，{2}；
2元子集：{0, 1}，{0, 2}，{1, 2}； 3元子集（即集合A）：{0, 1, 2}．
因此，计算集合A的幂集时，首先要按照上述方法写出集合A的全部子集，然后检验写出的子集个数是否等于2n 个，其中n是集合A的元素个数 那么在考试中是怎样考的呢？我们来看2道历年真题：
[例1] 若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为( )． （2008年7月试卷第3题） A．1024 B．10
C．100 D．1 [答案]：A [分析]
由集合A的所有子集组成的集合，称为A的幂集，记作P(A)或2A.
若集合A是由n个元素所组成的集合，则A的幂集由2n元素组成．本题集合A有10个元素，因此A的幂集由210=1024个元素组成．
所以选项A是正确，其他选项都不对．
【易错点】
当n比较大时，有些同学可能不会计算2的n次幂，即把210计算错了．【提示】 若集合A有n个元集，则其幂集P(A )有2n个元素．
[例2] 设集合A＝{a，b}，那么集合A的幂集是_________ ． （2008年7月试卷第6题） [答案]：{，{a}，{b}，{a,b}} [分析]
按照幂集定义，集合A＝{a，b}的所有子集就是A 的幂集． A的全部子集由以下子集组成： 0元子集（即空集）：； 1元子集：{ a }，{ b }；
2元子集（即集合A）：{a，b}．
所以，集合A的幂集是：{，{a}，{b}，{a, b}}
集合之间的运算有并（∪）、交（∩）、差（-）、补（~）和对称差（）等五种运算，在做集合运算的题目时，一定要按照它们的定义进行计算。 (1) 集合A和B的并集 A∪B＝{ x | x∈A 或 x∈B } 特点：所有属于A或属于B的元素组成的集合．见图1 (2) 集合A和B的交集 A∩B＝{ x | x∈A 且 x∈B } 特点：既属于A又属于B的所有元素组成的集合．见图2 (3) 集合A和B的差集 A-B＝{ x | x∈A 且 xB } 特点：由属于A，而不属于B的所有元素组成的集合．见图3 (4) 集合A的补集 ~A = { x | x∈E 且 xA } 特点：由属于全集E但不属于集合A的元素组成的集合．见图4 补集总相对于一个全集而言，可以看作是全集E与集合A的差集． (5) 集合A与B的对称差 AB＝(A-B)∪(B-A) 或 AB＝(A∪B)-(A∩B) 特点：由分别属于集合A与B的元素但不属于它们公共元素组成的集合．见图5 (6) 把集合A，B合成集合A×B叫做笛卡儿积，规定 A×B＝{
注意：由于有序对
笛卡儿积的运算一般不能交换.．
虽然笛卡儿积的内容是第2章2.1.1目的内容，是二元关系的预备知识，但我们认为把它作为集合的一种运算考虑更好些。
那么在考试中是怎样考的呢？我们来看2道历年真题：
[例1] 设A={{1},{2}, 1, 2}，B={1, 2, {1, 2}}，试计算 （2008年9月试卷第17题） （1）A-B； （2）A∩B； （3）A×B [分析]
（1）求集合A与B的差集A-B，就是求属于A而不属于B的所有元素组成的集合．即 A-B= {{1},{2}, 1, 2}-{1, 2, {1, 2}}= {{1},{2}}．
（2）求集合A与B的交集A∩B，就是求由集合A和B的公共元素组成的集合．即 A∩B ={{1},{2}, 1, 2}∩{1, 2, {1, 2}}={1, 2}．
（3）求集合A与B的笛卡儿积A×B，就是求一个元素是有序对的集合，而这些有序对的第一个元素取自集合A，第二个元素取自集合B．即
A×B={{1},{2}, 1, 2}×{1, 2, {1, 2}}={<{1}, 1>，<{1}, 2>，<{1}, {1, 2}>，<{2}, 1>，<{2}, 2>，<{2},{1,2}>，<1, 1>，<1, 2>，<1, {1, 2}>，<2, 1>，<2, 2>，<2, {1, 2}>}
【易错点】
我们对集合中有的元素用集合形式表示的情形容易混淆，既不把{1},{2}看作集合A的元素，不把{1, 2}看作集合B的元素，或者把{1}，{2}，{1, 2}看作是相同的。
【提示】
笛卡儿积A×B是由集合A的每一个元素与集合B的各个元素合成有序对
所谓有序对就是指一个有顺序的数组，如
[例2] 设A={{a, b}, 1, 2}，B={ a, b, {1}, 1}，试计算 （2009年1月试卷第17题） （1）A-B； （2）A∪B； （3）（A∪B）-（A∩B） [分析]
（1）求集合A与B的差集A-B，就是求属于A而不属于B的所有元素组成的集合．即 A-B={{a, b}, 1, 2}-{ a, b, {1}, 1}={{a, b}, 2}．
（2）求集合A与B的并集A∪B，就是求由集合A和B的所有元素组成的集合．即 A∪B ={{a, b}, 1, 2}∪{ a, b, {1}, 1}={{a, b}, 1, 2,a, b, {1}}．
（3）因为 A∪B ={{a, b}, 1, 2,a, b, {1}} A∩B ={{a, b}, 1, 2}∩{ a, b, {1}, 1}={1}
所以（A∪B）-（A∩B）={{a, b}, 1, 2, a, b, {1}}-{1}={{a, b}, 2, a, b, {1}}．
如同实数运算有交换律、结合律和分配率等。集合的运算也有许多运算律。下面以恒等式的形式给出集合运算满足的主要运算律,其中
A,B,C为任意集合,E为全集。 这些恒等式是证明其它集合恒等式、化简集合表达式的主要依据,正确运用这些恒等式是做好集合证明或化简题的关键．因此,大家要通过练习逐步掌握这些集合运算性质.
A∪B=B∪A
1、交换律
A∩B=B∩A
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
2、结合律
(A∩B)∩C=A∩(B∩C) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
3、分配律
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
4、同一律 5、幂等律 6、零律
A∪=A A∩E=A A∪A=A A∩A=A A∪E=E
7、补余律 8、吸收率
A∩= A∪~A=E A∩~A = A∪(A∩B)=A A∩(A∪B)=A A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C) ～(B∪C)=~B∩~C ～(B∩C)=~B∪~C
~=E ~E= ~（~A）=A
9、摩根律
10、双补律
[例1] 试证明集合等式A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)． （2008年9月试卷第19题、2009年10月试卷第8题）
[证明过程]
若对A∪(B∩C)中的任一元素x，即x∈A∪(B∩C), 则有x∈A或x∈B∩C，
即 x∈A或x∈B且x∈A或x∈C,
也即x∈A∪B且x∈A∪C，得x∈(A∪B)∩(A∪C)． 所以A∪(B∩C)?(A∪B)∩(A∪C)．①
反之，若对(A∪B)∩(A∪C)中的任一元素x，即x∈(A∪B)∩(A∪C), 则有x∈A∪B且x∈A∪C,
即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C,
也即x∈A或x∈B∩C，得x∈A∪(B∩C)． 所以(A∪B)∩(A∪C)?A∪(B∩C)． ② 由①和②得 A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)．
【提示】
集合恒等式的证明方法通常有二：
(1)要证明A=B，只需要证明A?B，又A?B； (2)通过运算律进行等式推导.
[例2] 设A，B是任意集合，试证明：若A×A=B×B，则A=B． （2010年1月试卷第18题） [证明过程]
设对A中的任一元素x，即x∈A，那么有序对
又设对B中的任一元素x，即x∈ B，那么有序对
由①和②得 A=B．
第2章主要介绍关系的概念及运算、关系的性质与闭包运算、等价关系、相容关系和偏序关系三个重要关系、函数以及函数相关知识等内容．考试经常涉及到的题型有以下5个：
关系的概念理解以及关系的并、交、补、差以及复合和逆关系等运算
关系自反和反自反、对称和反对称等性质的概念理解与判定；自反、对称和传递闭包运算 等价关系
偏序关系和哈斯图
函数的概念和性质
所谓“关系”，就是指客体之间的相互联系，是一种普遍存在的现象．任何一个有序对集合，称为一个“二元关系”，简称“关系”，记作R．对于二元关系R， 若∈R，可记作aRb；
若R，则记作ab．
[例1] 如果R是非空集合A上的等价关系，a∈A，b∈A，则可推知R中至少包含 等元素． [答案] ，
由等价关系的概念，知道R具备了自反性、对称性和传递性．根据已知A上的元素a和b，根据自反的概念，知道R中必须包含和，由对称和传递概念，得知{，}也具备对称性和传递性，因此对应A上的关系R至少应该包含元素，
【易错点】
本题目中要求的是最小等价关系，同学们容易将答案写为{，，
【提示】
先加入自反关系，然后再根据等价关系加入必要的对称和传递所需的元素．
[例2] 集合A={1，2，3，4，5，6，7，8}上的关系R={
C．传递且对称的 D．反自反且传递的 [答案] B 分析]
首先，可以写出关系R的有限集合表示，即 {<2，8>，<8，2>，<3，7>，<7，3>，<4，6>，<6，4>，<5，5>}
容易看出，<1，1>R，因此R不是自反的．<5，5>∈R因此，R不是反自反的．
又因为<2，8>∈R，且<8，2>∈R，而<2，2>R，因此，R不具备传递性． 因此，答案选择B [例3] 若A={1，2}，R={
本题考核的是关系闭包的计算．计算关系闭包有集合法、矩阵法和关系图法．本题目可以直接使用集合法计算公式r(R)=R∪IA．
首先容易计算出R=Φ，IA={<1，1>，<2，2>}． r(R)=R∪IA= IA={<1，1>，<2，2>}
（1）函数的概念
设 f 是集合A到B的二元关系，若任意 a∈A，存在 b∈B，且∈ f ，Dom(f) = A，则 f 是一个函数（映射）．函数是一种特殊的关系．
注意：集合 A×B 的任何子集都是关系，但不一定是函数．函数要求对于定义域 A 中每一个元素a，B中有且仅有一个元素与 a 对应，而一般的关系没有这个限制． （2）单射、满射和双射的判断 单射：若 a1≠a2?f (a1)≠ f (a2)；
满射：f (A) = B，即对任意 y ∈B，存在 x ∈A，使得 y = f(x) ； 双射：单射且满射． （3）函数的复合
若 f：A→B，g：B→C，则 f·g：A→C，即 (g·f)(x)=g( f(x))．
复合成立的条件是：Ran(f)? Dom(g)．
[例1] 设A={a，b，c}，B={1，2}，作 f：A→B，则不同的函数个数为__________ [答案]：8 [分析]
本题目考核的是学生对函数概念的理解． 函数可以有下面映射规则：